ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  znegcl Unicode version

Theorem znegcl 8463
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 8434 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 negeq 7368 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  -u N  =  -u 0 )
3 neg0 7421 . . . . . 6  |-  -u 0  =  0
42, 3syl6eq 2130 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  -u N  =  0 )
5 0z 8443 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
64, 5syl6eqel 2170 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  -u N  e.  ZZ )
7 nnnegz 8435 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
8 nnz 8451 . . . 4  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
96, 7, 83jaoi 1235 . . 3  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  ->  -u N  e.  ZZ )
109adantl 271 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
111, 10sylbi 119 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   RRcr 7042   0cc0 7043   -ucneg 7347   NNcn 8106   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-z 8433
This theorem is referenced by:  znegclb  8465  nn0negz  8466  peano2zm  8470  zsubcl  8473  zeo  8533  zindd  8546  znegcld  8552  uzneg  8718  qnegcl  8802  fzsubel  9154  fzosubel  9280  ceilid  9397  modqcyc2  9442  expsubap  9621  climshft  10281  negdvdsb  10356  dvdsnegb  10357  summodnegmod  10371  dvdssub  10385  odd2np1  10417  gcdneg  10517  neggcd  10518  gcdabs  10523  bezoutlemaz  10536  bezoutlembz  10537  lcmneg  10600  neglcm  10601  lcmabs  10602  ex-fl  10714
  Copyright terms: Public domain W3C validator