Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0even 41826
Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
0even 0 ∈ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0even
StepHypRef Expression
1 0z 11129 . . 3 0 ∈ ℤ
2 2cn 10846 . . . 4 2 ∈ ℂ
3 0zd 11130 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4 oveq2 6434 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
54eqeq2d 2524 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
65adantl 480 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7 mul01 9966 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
87eqcomd 2520 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
93, 6, 8rspcedvd 3193 . . . 4 (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
102, 9ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11 eqeq1 2518 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 2938 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
1312elrab 3235 . . 3 (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
141, 10, 13mpbir2an 956 . 2 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15 2zrng.e . 2 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15eleqtrri 2591 1 0 ∈ 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801  {crab 2804  (class class class)co 6426  cc 9689  0cc0 9691   · cmul 9696  2c2 10825  cz 11118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-ltxr 9834  df-neg 10020  df-2 10834  df-z 11119
This theorem is referenced by:  2zlidl  41829  2zrng0  41833  2zrngamnd  41836  2zrngacmnd  41837  2zrngmmgm  41841
  Copyright terms: Public domain W3C validator