Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1neven Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1neven 41193
Description: 1 is not an even integer. (Contributed by AV, 12-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
1neven 1 ∉ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 1neven
StepHypRef Expression
1 halfnz 11399 . . . . . . 7 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2 eleq1a 2699 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 → (1 / 2) ∈ ℤ))
31, 2mtoi 190 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ (1 / 2) = 𝑥)
4 1cnd 10001 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
5 zcn 11327 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
6 2cnne0 11187 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
8 divmul2 10634 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
94, 5, 7, 8syl3anc 1323 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) = 𝑥 ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
103, 9mtbid 314 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → ¬ 1 = (2 · 𝑥))
1110nrex 2999 . . . 4 ¬ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)
1211intnan 959 . . 3 ¬ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥))
13 eqeq1 2630 . . . . 5 (𝑧 = 1 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 1 = (2 · 𝑥)))
1413rexbidv 3050 . . . 4 (𝑧 = 1 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
15 2zrng.e . . . 4 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15elrab2 3353 . . 3 (1 ∈ 𝐸 ↔ (1 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 1 = (2 · 𝑥)))
1712, 16mtbir 313 . 2 ¬ 1 ∈ 𝐸
1817nelir 2902 1 1 ∉ 𝐸
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wnel 2899  wrex 2913  {crab 2916  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   / cdiv 10629  2c2 11015  cz 11322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323
This theorem is referenced by:  2zrngnmlid  41210  2zrngnmrid  41211
  Copyright terms: Public domain W3C validator