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Theorem 2zlidl 41195
Description: The even integers are a (left) ideal of the ring of integers. (Contributed by AV, 20-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2zlidl.u 𝑈 = (LIdeal‘ℤring)
Assertion
Ref Expression
2zlidl 𝐸𝑈
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑧)   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 2zlidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2zrng.e . . 3 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
2 ssrab2 3671 . . 3 {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3619 . 2 𝐸 ⊆ ℤ
410even 41192 . . 3 0 ∈ 𝐸
54ne0ii 3904 . 2 𝐸 ≠ ∅
6 eqeq1 2630 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑗 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
76rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
87, 1elrab2 3353 . . . . . 6 (𝑗𝐸 ↔ (𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)))
9 eqeq1 2630 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑘 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
109rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑘 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
1110, 1elrab2 3353 . . . . . 6 (𝑘𝐸 ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))
128, 11anbi12i 732 . . . . 5 ((𝑗𝐸𝑘𝐸) ↔ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))))
13 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑖 ∈ ℤ)
14 simprll 801 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑗 ∈ ℤ)
1513, 14zmulcld 11432 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → (𝑖 · 𝑗) ∈ ℤ)
16 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1716adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → 𝑘 ∈ ℤ)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
1915, 18zaddcld 11430 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ)
20 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑎 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑎))
2120eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑗 = (2 · 𝑎)))
2221cbvrexv 3165 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎))
23 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑏 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑏))
2423eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑏 → (𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ 𝑘 = (2 · 𝑏)))
2524cbvrexv 3165 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏))
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
27 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
2926, 28zmulcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℤ)
30 simp-4l 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
3129, 30zaddcld 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) ∈ ℤ)
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
3332ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑗 = (2 · 𝑎))
3433oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → (𝑖 · 𝑗) = (𝑖 · (2 · 𝑎)))
35 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑘 = (2 · 𝑏))
3634, 35oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
38 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏) → (2 · 𝑥) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
3937, 38eqeqan12d 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 = ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) → (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏))))
40 zcn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
42 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
43 zcn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → 𝑎 ∈ ℂ)
4544ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℂ)
4741, 42, 46mul12d 10190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · (2 · 𝑎)) = (2 · (𝑖 · 𝑎)))
4847oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
4941, 46mulcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑎) ∈ ℂ)
50 zcn 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
5150ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
5242, 49, 51adddid 10009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)) = ((2 · (𝑖 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)))
5348, 52eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝑖 · (2 · 𝑎)) + (2 · 𝑏)) = (2 · ((𝑖 · 𝑎) + 𝑏)))
5431, 39, 53rspcedvd 3307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ)) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
5554exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑘 = (2 · 𝑏)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
5655rexlimiva 3026 . . . . . . . . . . . . . 14 (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑏) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
5725, 56sylbi 207 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥) → (𝑘 ∈ ℤ → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
5857impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
5958expdcom 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑗 = (2 · 𝑎)) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
6059rexlimiva 3026 . . . . . . . . . 10 (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑎) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
6122, 60sylbi 207 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥) → (𝑗 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))))
6261impcom 446 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) → ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))))
6362imp 445 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥))) → (𝑖 ∈ ℤ → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
6463impcom 446 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥))
65 eqeq1 2630 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
6665rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑧 = ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
6766, 1elrab2 3353 . . . . . 6 (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸 ↔ (((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) = (2 · 𝑥)))
6819, 64, 67sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑗 = (2 · 𝑥)) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑘 = (2 · 𝑥)))) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
6912, 68sylan2b 492 . . . 4 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑗𝐸𝑘𝐸)) → ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
7069ralrimivva 2970 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → ∀𝑗𝐸𝑘𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸)
7170rgen 2922 . 2 𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗𝐸𝑘𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸
72 2zlidl.u . . 3 𝑈 = (LIdeal‘ℤring)
73 zringbas 19738 . . 3 ℤ = (Base‘ℤring)
74 zringplusg 19739 . . 3 + = (+g‘ℤring)
75 zringmulr 19741 . . 3 · = (.r‘ℤring)
7672, 73, 74, 75islidl 19125 . 2 (𝐸𝑈 ↔ (𝐸 ⊆ ℤ ∧ 𝐸 ≠ ∅ ∧ ∀𝑖 ∈ ℤ ∀𝑗𝐸𝑘𝐸 ((𝑖 · 𝑗) + 𝑘) ∈ 𝐸))
773, 5, 71, 76mpbir3an 1242 1 𝐸𝑈
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  c0 3896  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881   + caddc 9884   · cmul 9886  2c2 11015  cz 11322  LIdealclidl 19084  ringzring 19732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12266  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-lss 18847  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-lidl 19088  df-cnfld 19661  df-zring 19733
This theorem is referenced by:  2zrng  41196
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