Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1fv 12399
 Description: A one value function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Dec-2017.) (Proof shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
1fv ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))

Proof of Theorem 1fv
StepHypRef Expression
1 0z 11332 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
21a1i 11 . . . . 5 (𝑁𝑉 → 0 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁𝑉𝑁𝑉)
42, 3fsnd 6136 . . . 4 (𝑁𝑉 → {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉)
5 fvsng 6401 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑉) → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
61, 5mpan 705 . . . 4 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)
74, 6jca 554 . . 3 (𝑁𝑉 → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
87adantr 481 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
9 id 22 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → 𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩})
10 fz0sn 12380 . . . . . 6 (0...0) = {0}
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (0...0) = {0})
129, 11feq12d 5990 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉))
13 fveq1 6147 . . . . 5 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → (𝑃‘0) = ({⟨0, 𝑁⟩}‘0))
1413eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃‘0) = 𝑁 ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁))
1512, 14anbi12d 746 . . 3 (𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩} → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
1615adantl 482 . 2 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → ((𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁) ↔ ({⟨0, 𝑁⟩}:{0}⟶𝑉 ∧ ({⟨0, 𝑁⟩}‘0) = 𝑁)))
178, 16mpbird 247 1 ((𝑁𝑉𝑃 = {⟨0, 𝑁⟩}) → (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ∧ (𝑃‘0) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {csn 4148  ⟨cop 4154  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ℤcz 11321  ...cfz 12268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-neg 10213  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269 This theorem is referenced by:  is0wlk  26844  is0trl  26850  0pthon1  26855
 Copyright terms: Public domain W3C validator