Theorem 1idssfct 16024

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11649	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnz 12005	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1dvds 15624	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
6	5	elrab 3680	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
7	6	biimpri 230	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
8	1, 4, 7	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
9		iddvds 15623	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq1 5069	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
12	11	elrab 3680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁))
13	12	biimpri 230	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
14	10, 13	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
15	8, 14	prssd 4755	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ⊆ wss 3936  {cpr 4569   class class class wbr 5066  1c1 10538  ℕcn 11638  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-neg 10873  df-nn 11639  df-z 11983  df-dvds 15608

This theorem is referenced by:  isprm2  16026