MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iddvds 14781
Description: An integer divides itself. Theorem 1.1(a) in [ApostolNT] p. 14 (reflexive property of the divides relation). (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
iddvds (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)

Proof of Theorem iddvds
StepHypRef Expression
1 zcn 11217 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
21mulid2d 9914 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
3 1z 11242 . . . 4 1 ∈ ℤ
4 dvds0lem 14778 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
53, 4mp3anl1 1409 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
65anabsan 849 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (1 · 𝑁) = 𝑁) → 𝑁𝑁)
72, 6mpdan 698 1 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  (class class class)co 6526  1c1 9793   · cmul 9797  cz 11212  cdvds 14769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-z 11213  df-dvds 14770
This theorem is referenced by:  dvdsadd  14810  dvds1  14827  dvdsext  14829  z2even  14892  n2dvds3  14893  divalglem0  14902  divalglem2  14904  sadadd3  14969  gcd0id  15026  gcdzeq  15057  mulgcddvds  15155  1idssfct  15179  dvdsprime  15186  3prm  15192  dvdsprm  15201  exprmfct  15202  coprm  15209  isprm6  15212  pcidlem  15362  pcprmpw2  15372  pcprmpw  15373  prmgaplem1  15539  prmgaplem2  15540  prmgaplcmlem1  15541  prmgaplcmlem2  15542  odeq  17740  pgpfi  17791  znidomb  19676  sgmnncl  24617  muinv  24663  ppiublem2  24672  perfect1  24697  perfectlem2  24699  2lgslem2  24864  2lgs2  24874  2sqlem6  24892  eupath2lem3  26299  ex-ind-dvds  26503  eulerpartlemt  29553  poimirlem25  32387  poimirlem27  32389  jm2.18  36356  jm2.15nn0  36371  jm2.16nn0  36372  jm2.27c  36375  nzss  37321  etransclem25  38935  perfectALTVlem2  39949  eupth2lem3lem3  41379
  Copyright terms: Public domain W3C validator