Theorem 2cycl2d 32405

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycl2d.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2cycl2d.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycl2d.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
2cycl2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2cycl2d.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycl2d.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycl2d.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycl2d.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2cycl2d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycl2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycl2d.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐴”⟩
2		2cycl2d.2	. 2 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycl2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
4		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
5	3, 4	jccir 524	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
6		df-3an 1084	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
7	5, 6	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
8		2cycl2d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
9	8	necomd 3070	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	8, 9	jca 514	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴))
11		2cycl2d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
12		prcom 4661	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}
13	12	sseq1i 3988	. . . 4 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾) ↔ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾))
14	13	anbi2i 624	. . 3 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐾)) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
15	11, 14	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐴} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
16		2cycl2d.6	. 2 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17		2cycl2d.7	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
18		2cycl2d.8	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
19		eqidd 2821	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
20	1, 2, 7, 10, 15, 16, 17, 18, 19	2cycld 32404	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015   ⊆ wss 3929  {cpr 4562   class class class wbr 5059  ‘cfv 6348  ⟨“cs2 14196  ⟨“cs3 14197  Vtxcvtx 26777  iEdgciedg 26778  Cyclesccycls 27562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-hash 13688  df-word 13859  df-concat 13916  df-s1 13943  df-s2 14203  df-s3 14204  df-wlks 27377  df-trls 27470  df-pths 27493  df-cycls 27564

This theorem is referenced by:  umgr2cycllem  32406