Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3atlem4 34291
Description: Lemma for 3at 34295. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l = (le‘𝐾)
3at.j = (join‘𝐾)
3at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atlem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))

Proof of Theorem 3atlem4
StepHypRef Expression
1 simp11 1089 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1090 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
3 simp13l 1174 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑆𝐴)
4 simp13r 1175 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑇𝐴)
5 simp123 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝐴)
63, 4, 53jca 1240 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴))
7 simp2l 1085 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
8 hllat 34169 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 3at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11atbase 34095 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
135, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp121 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝐴)
1510, 11atbase 34095 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17 simp122 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝐴)
1810, 11atbase 34095 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20 3at.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
21 3at.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2210, 20, 21latnlej1l 17009 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅𝑃)
239, 13, 16, 19, 7, 22syl131anc 1336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝑃)
2423necomd 2845 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑅)
25 simp2r 1086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
2625necomd 2845 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝑃)
2720, 21, 11hlatexch1 34200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑃) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
281, 17, 5, 14, 26, 27syl131anc 1336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
297, 28mtod 189 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
30 simp3 1061 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅))
3120, 21, 113atlem3 34290 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
321, 2, 6, 7, 24, 29, 30, 31syl331anc 1348 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4623  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  lecple 15888  joincjn 16884  Latclat 16985  Atomscatm 34069  HLchlt 34156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-preset 16868  df-poset 16886  df-plt 16898  df-lub 16914  df-glb 16915  df-join 16916  df-meet 16917  df-p0 16979  df-lat 16986  df-covers 34072  df-ats 34073  df-atl 34104  df-cvlat 34128  df-hlat 34157
This theorem is referenced by:  3atlem5  34292
  Copyright terms: Public domain W3C validator