Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3atlem4 33589
Description: Lemma for 3at 33593. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l = (le‘𝐾)
3at.j = (join‘𝐾)
3at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3atlem4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))

Proof of Theorem 3atlem4
StepHypRef Expression
1 simp11 1083 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1084 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
3 simp13l 1168 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑆𝐴)
4 simp13r 1169 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑇𝐴)
5 simp123 1187 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝐴)
63, 4, 53jca 1234 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴))
7 simp2l 1079 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
8 hllat 33467 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
91, 8syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝐾 ∈ Lat)
10 eqid 2605 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
11 3at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11atbase 33393 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
135, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
14 simp121 1185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝐴)
1510, 11atbase 33393 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1614, 15syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
17 simp122 1186 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝐴)
1810, 11atbase 33393 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
20 3at.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
21 3at.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2210, 20, 21latnlej1l 16834 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)) → 𝑅𝑃)
239, 13, 16, 19, 7, 22syl131anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑅𝑃)
2423necomd 2832 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑅)
25 simp2r 1080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
2625necomd 2832 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → 𝑄𝑃)
2720, 21, 11hlatexch1 33498 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑄𝑃) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
281, 17, 5, 14, 26, 27syl131anc 1330 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → (𝑄 (𝑃 𝑅) → 𝑅 (𝑃 𝑄)))
297, 28mtod 187 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅))
30 simp3 1055 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅))
3120, 21, 113atlem3 33588 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑅𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑅 ∧ ¬ 𝑄 (𝑃 𝑅)) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
321, 2, 6, 7, 24, 29, 30, 31syl331anc 1342 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑃𝑄) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wne 2775   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  lecple 15717  joincjn 16709  Latclat 16810  Atomscatm 33367  HLchlt 33454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-lat 16811  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455
This theorem is referenced by:  3atlem5  33590
  Copyright terms: Public domain W3C validator