MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablinvadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablinvadd 18196
Description: The inverse of an Abelian group operation. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ablinvadd.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablinvadd.p + = (+g𝐺)
ablinvadd.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablinvadd ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))

Proof of Theorem ablinvadd
StepHypRef Expression
1 ablgrp 18179 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2 ablinvadd.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablinvadd.p . . . 4 + = (+g𝐺)
4 ablinvadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
52, 3, 4grpinvadd 17474 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
61, 5syl3an1 1357 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
7 simp1 1059 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Abel)
813ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simp2 1060 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
102, 4grpinvcl 17448 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
118, 9, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
12 simp3 1061 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
132, 4grpinvcl 17448 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
148, 12, 13syl2anc 692 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3ablcom 18191 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
167, 11, 14, 15syl3anc 1324 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)) = ((𝑁𝑌) + (𝑁𝑋)))
176, 16eqtr4d 2657 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑁𝑋) + (𝑁𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  Grpcgrp 17403  invgcminusg 17404  Abelcabl 18175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-cmn 18176  df-abl 18177
This theorem is referenced by:  ablsub4  18199  mulgdi  18213  invghm  18220  lmodnegadd  18893  lflnegcl  34181  baerlem3lem1  36815
  Copyright terms: Public domain W3C validator