MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablcom 18430
Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ablcom ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom
StepHypRef Expression
1 ablcmn 18419 . 2 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2 ablcom.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 ablcom.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3cmncom 18429 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
51, 4syl3an1 1167 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  CMndccmn 18413  Abelcabl 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-iota 6012  df-fv 6057  df-ov 6817  df-cmn 18415  df-abl 18416
This theorem is referenced by:  ablinvadd  18435  ablsub2inv  18436  ablsubadd  18437  abladdsub  18440  ablpncan3  18442  ablsub32  18447  ablnnncan  18448  ablsubsub23  18450  eqgabl  18460  subgabl  18461  ablnsg  18470  lsmcomx  18479  qusabl  18488  frgpnabl  18498  ngplcan  22636  clmnegsubdi2  23125  clmvsubval2  23130  ncvspi  23176  r1pid  24138  abliso  30026  cnaddcom  34780  toycom  34781  lflsub  34875  lfladdcom  34880
  Copyright terms: Public domain W3C validator