MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgdi 18153
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgdi.m · = (.g𝐺)
mulgdi.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgdi ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 18120 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
21ad2antrr 761 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
3 simpr 477 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
4 simplr2 1102 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
5 simplr3 1103 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
6 mulgdi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 mulgdi.m . . . 4 · = (.g𝐺)
8 mulgdi.p . . . 4 + = (+g𝐺)
96, 7, 8mulgnn0di 18152 . . 3 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1325 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
111ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ CMnd)
12 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → -𝑀 ∈ ℕ0)
13 simpr2 1066 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
1413adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
15 simpr3 1067 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
1615adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑌𝐵)
176, 7, 8mulgnn0di 18152 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (-𝑀 ∈ ℕ0𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1325 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)))
19 ablgrp 18119 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
2019adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
21 simpr1 1065 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
226, 8grpcl 17351 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
2320, 13, 15, 22syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
24 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (invg𝐺) = (invg𝐺)
256, 7, 24mulgneg 17481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2620, 21, 23, 25syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
2726adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (-𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))))
286, 7, 24mulgneg 17481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
2920, 21, 13, 28syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑋) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)))
306, 7, 24mulgneg 17481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3120, 21, 15, 30syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (-𝑀 · 𝑌) = ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌)))
3229, 31oveq12d 6622 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((-𝑀 · 𝑋) + (-𝑀 · 𝑌)) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
3418, 27, 333eqtr3d 2663 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
35 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐺 ∈ Abel)
366, 7mulgcl 17480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3720, 21, 13, 36syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
386, 7mulgcl 17480 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑌𝐵) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
3920, 21, 15, 38syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵)
406, 8, 24ablinvadd 18136 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4135, 37, 39, 40syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4241adantr 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))) = (((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑋)) + ((invg𝐺)‘(𝑀 · 𝑌))))
4334, 42eqtr4d 2658 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌))) = ((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌))))
4443fveq2d 6152 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))))
4519ad2antrr 761 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Grp)
466, 7mulgcl 17480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4720, 21, 23, 46syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
4847adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵)
496, 24grpinvinv 17403 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
5045, 48, 49syl2anc 692 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘(𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))) = (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)))
516, 8grpcl 17351 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5220, 37, 39, 51syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
5352adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵)
546, 24grpinvinv 17403 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)) ∈ 𝐵) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5545, 53, 54syl2anc 692 . . 3 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → ((invg𝐺)‘((invg𝐺)‘((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
5644, 50, 553eqtr3d 2663 . 2 (((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ -𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
57 elznn0 11336 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0)))
5857simprbi 480 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
5921, 58syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 ∈ ℕ0 ∨ -𝑀 ∈ ℕ0))
6010, 56, 59mpjaodan 826 1 ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑀 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑀 · 𝑋) + (𝑀 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  -cneg 10211  0cn0 11236  cz 11321  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Grpcgrp 17343  invgcminusg 17344  .gcmg 17461  CMndccmn 18114  Abelcabl 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-cmn 18116  df-abl 18117
This theorem is referenced by:  mulgghm  18155  mulgsubdi  18156  odadd1  18172  odadd2  18173  oddvdssubg  18179  pgpfac1lem3a  18396  pgpfac1lem3  18397  zlmlmod  19790
  Copyright terms: Public domain W3C validator