Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  acsfn1p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn1p 37271
 Description: Construction of a closure rule from a one-parameter partial operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn1p ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑉   𝐸,𝑎   𝑋,𝑎,𝑏   𝑌,𝑎,𝑏
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑏)

Proof of Theorem acsfn1p
StepHypRef Expression
1 riinrab 4564 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2 elpwi 4142 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
3 ssrin 3818 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌))
6 ralss 3649 . . . . . 6 ((𝑎𝑌) ⊆ (𝑋𝑌) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
8 inss2 3814 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
98sseli 3580 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑌)
109biantrud 528 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (𝑏𝑎 ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌)))
11 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑏 ∈ V
1211snss 4288 . . . . . . . . 9 (𝑏𝑎 ↔ {𝑏} ⊆ 𝑎)
1312bicomi 214 . . . . . . . 8 ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏𝑎)
14 elin 3776 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) ↔ (𝑏𝑎𝑏𝑌))
1510, 13, 143bitr4g 303 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → ({𝑏} ⊆ 𝑎𝑏 ∈ (𝑎𝑌)))
1615imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → (({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎)))
1716ralbiia 2973 . . . . 5 (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)(𝑏 ∈ (𝑎𝑌) → 𝐸𝑎))
187, 17syl6rbbr 279 . . . 4 (((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋) → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎))
1918rabbidva 3176 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
201, 19syl5eq 2667 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎})
21 mreacs 16243 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
2221adantr 481 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
23 ssralv 3647 . . . . . 6 ((𝑋𝑌) ⊆ 𝑌 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋))
248, 23ax-mp 5 . . . . 5 (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋)
25 simpll 789 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑋𝑉)
26 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝐸𝑋)
27 inss1 3813 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑋
2827sseli 3580 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝑋𝑌) → 𝑏𝑋)
2928ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → 𝑏𝑋)
3029snssd 4311 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ⊆ 𝑋)
31 snfi 7985 . . . . . . . . 9 {𝑏} ∈ Fin
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑏} ∈ Fin)
33 acsfn 16244 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3425, 26, 30, 32, 33syl22anc 1324 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) ∧ 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3534ex 450 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑏 ∈ (𝑋𝑌)) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3635ralimdva 2956 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌)𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3724, 36syl5 34 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑌 𝐸𝑋 → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3837imp 445 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
39 mreriincl 16182 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4022, 38, 39syl2anc 692 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏 ∈ (𝑋𝑌){𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4120, 40eqeltrrd 2699 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑌 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏 ∈ (𝑎𝑌)𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  {crab 2911   ∩ cin 3555   ⊆ wss 3556  𝒫 cpw 4132  {csn 4150  ∩ ciin 4488  ‘cfv 5849  Fincfn 7902  Moorecmre 16166  ACScacs 16169 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-om 7016  df-1o 7508  df-en 7903  df-fin 7906  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator