MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgacs 19579
Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgacs (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subrgacs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2821 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21issubrg3 19563 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
3 elin 4169 . . . 4 (𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
42, 3syl6bbr 291 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
54eqrdv 2819 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) = ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
6 subrgacs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
76fvexi 6684 . . . 4 𝐵 ∈ V
8 mreacs 16929 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
97, 8mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
10 ringgrp 19302 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
116subgacs 18313 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
131ringmgp 19303 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
141, 6mgpbas 19245 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1514submacs 17991 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
1613, 15syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
17 mreincl 16870 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
189, 12, 16, 17syl3anc 1367 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
195, 18eqeltrd 2913 1 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3494  cin 3935  𝒫 cpw 4539  cfv 6355  Basecbs 16483  Moorecmre 16853  ACScacs 16856  Mndcmnd 17911  SubMndcsubmnd 17955  Grpcgrp 18103  SubGrpcsubg 18273  mulGrpcmgp 19239  Ringcrg 19297  SubRingcsubrg 19531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533
This theorem is referenced by:  sdrgacs  19580
  Copyright terms: Public domain W3C validator