MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snfi 7900
Description: A singleton is finite. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.)
Assertion
Ref Expression
snfi {𝐴} ∈ Fin

Proof of Theorem snfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1onn 7583 . . . 4 1𝑜 ∈ ω
2 ensn1g 7884 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 breq2 4581 . . . . 5 (𝑥 = 1𝑜 → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ 1𝑜))
43rspcev 3281 . . . 4 ((1𝑜 ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ 1𝑜) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
51, 2, 4sylancr 693 . . 3 (𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
6 snprc 4196 . . . 4 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
7 en0 7882 . . . . 5 ({𝐴} ≈ ∅ ↔ {𝐴} = ∅)
8 peano1 6954 . . . . . 6 ∅ ∈ ω
9 breq2 4581 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ({𝐴} ≈ 𝑥 ↔ {𝐴} ≈ ∅))
109rspcev 3281 . . . . . 6 ((∅ ∈ ω ∧ {𝐴} ≈ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
118, 10mpan 701 . . . . 5 ({𝐴} ≈ ∅ → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
127, 11sylbir 223 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
136, 12sylbi 205 . . 3 𝐴 ∈ V → ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
145, 13pm2.61i 174 . 2 𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥
15 isfi 7842 . 2 ({𝐴} ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω {𝐴} ≈ 𝑥)
1614, 15mpbir 219 1 {𝐴} ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  Vcvv 3172  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  ωcom 6934  1𝑜c1o 7417  cen 7815  Fincfn 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-om 6935  df-1o 7424  df-en 7819  df-fin 7822
This theorem is referenced by:  fiprc  7901  prfi  8097  tpfi  8098  fnfi  8100  unifpw  8129  snopfsupp  8158  sniffsupp  8175  ssfii  8185  cantnfp1lem1  8435  infpwfidom  8711  ackbij1lem4  8905  ackbij1lem9  8910  ackbij1lem10  8911  fin23lem21  9021  isfin1-3  9068  axcclem  9139  zornn0g  9187  hashsng  12974  hashen1  12975  hashunsng  12996  hashprg  12997  hashprgOLD  12998  hashsnlei  13021  hashxplem  13034  hashmap  13036  hashfun  13038  hashbclem  13047  hashf1lem1  13050  hashf1lem2  13051  hashf1  13052  fsummsnunz  14275  fsumsplitsnun  14276  fsum2dlem  14291  fsumcom2  14295  fsumcom2OLD  14296  ackbijnn  14347  incexclem  14355  isumltss  14367  fprod2dlem  14497  fprodcom2  14501  fprodcom2OLD  14502  fprodsplitsn  14507  rexpen  14744  2ebits  14955  lcmfunsnlem2lem1  15137  lcmfunsnlem2lem2  15138  lcmfunsnlem2  15139  lcmfass  15145  phicl2  15259  ramub1lem1  15516  cshwshashnsame  15596  acsfn1  16093  acsfiindd  16948  symg1hash  17586  odcau  17790  sylow2alem2  17804  gsumsnfd  18122  gsumzunsnd  18126  gsumunsnfd  18127  gsumpt  18132  ablfac1eu  18243  pgpfaclem2  18252  ablfaclem3  18257  srgbinomlem4  18314  psrlidm  19172  psrridm  19173  mplsubrg  19209  mvrcl  19218  mplmon  19232  mplmonmul  19233  psrbagsn  19264  psr1baslem  19324  uvcff  19896  mat1dimelbas  20043  mat1dim0  20045  mat1dimid  20046  mat1dimmul  20048  mat1dimcrng  20049  mat1f1o  20050  mat1ghm  20055  mat1mhm  20056  mat1rhm  20057  mat1rngiso  20058  mat1scmat  20111  mvmumamul1  20126  mdetrsca  20175  mdetunilem9  20192  mdetmul  20195  pmatcoe1fsupp  20272  d1mat2pmat  20310  pmatcollpw3fi1lem1  20357  chpmat1dlem  20406  chpmat1d  20407  0cmp  20954  discmp  20958  bwth  20970  disllycmp  21058  dis1stc  21059  locfincmp  21086  dissnlocfin  21089  comppfsc  21092  1stckgenlem  21113  ptpjpre2  21140  ptopn2  21144  xkohaus  21213  xkoptsub  21214  ptcmpfi  21373  cfinufil  21489  ufinffr  21490  fin1aufil  21493  alexsubALTlem3  21610  ptcmplem5  21617  tmdgsum  21656  tsmsxplem1  21713  tsmsxplem2  21714  prdsmet  21932  imasdsf1olem  21935  prdsbl  22053  icccmplem1  22380  icccmplem2  22381  ovolsn  23014  ovolfiniun  23020  volfiniun  23066  i1f0  23204  fta1glem2  23674  fta1blem  23676  fta1lem  23810  vieta1lem2  23814  vieta1  23815  aalioulem2  23836  tayl0  23864  radcnv0  23918  wilthlem2  24539  fsumvma  24682  dchrfi  24724  cusgrafilem3  25802  eupath2lem3  26299  vdegp1ai  26304  vdegp1bi  26305  konigsberg  26307  usgreghash2spotv  26386  ex-hash  26495  ffsrn  28685  locfinref  29029  esumcst  29245  esumsnf  29246  hasheuni  29267  rossros  29363  sibf0  29516  eulerpartlems  29542  eulerpartlemb  29550  ccatmulgnn0dir  29738  ofcccat  29739  plymulx0  29743  derangsn  30199  onsucsuccmpi  31405  topdifinffinlem  32154  finixpnum  32347  lindsenlbs  32357  poimirlem26  32388  poimirlem27  32389  poimirlem31  32393  poimirlem32  32394  prdsbnd  32545  heiborlem3  32565  heiborlem8  32570  ismrer1  32590  reheibor  32591  pclfinN  33987  elrfi  36058  mzpcompact2lem  36115  dfac11  36433  pwslnmlem0  36462  lpirlnr  36489  acsfn1p  36571  mpct  38171  fsumsplitsn  38420  dvmptfprodlem  38617  dvnprodlem2  38620  stoweidlem44  38720  fourierdlem51  38833  fourierdlem80  38862  fouriersw  38907  salexct  39011  salexct3  39019  salgencntex  39020  salgensscntex  39021  sge0sn  39055  sge0tsms  39056  sge0cl  39057  sge0sup  39067  sge0iunmptlemfi  39089  sge0splitsn  39117  hoiprodp1  39261  sge0hsphoire  39262  hoidmv1le  39267  hoidmvlelem1  39268  hoidmvlelem2  39269  hoidmvlelem5  39272  hspmbllem2  39300  ovnovollem3  39331  vonvolmbl  39334  vonvol  39335  vonvol2  39337  fsummmodsnunz  40203  cusgrfilem3  40654  eupth2eucrct  41366  trlsegvdeglem7  41375  fusgreghash2wspv  41480  suppmptcfin  41935  lcosn0  41984  lincext2  42019  snlindsntor  42035
  Copyright terms: Public domain W3C validator