MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddirp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddirp1d 10026
Description: Distributive law, plus 1 version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
adddirp1d.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
adddirp1d.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
adddirp1d (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))

Proof of Theorem adddirp1d
StepHypRef Expression
1 adddirp1d.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10016 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 adddirp1d.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3adddird 10025 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
53mulid2d 10018 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 6631 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
74, 6eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝐴 + 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-mulcl 9958  ax-mulcom 9960  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-1rid 9966  ax-cnre 9969
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-iota 5820  df-fv 5865  df-ov 6618
This theorem is referenced by:  modvalp1  12645  2lgsoddprmlem3d  25072  lt3addmuld  39014  lt4addmuld  39019  itgsinexp  39507  fourierdlem19  39680  fourierdlem35  39696  fourierdlem51  39711
  Copyright terms: Public domain W3C validator