Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldmulg 19697
 Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmulg ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
31, 2eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
64, 5eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
97, 8eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
1210, 11eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14 oveq1 6611 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1513, 14eqeq12d 2636 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16 cnfldbas 19669 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
17 cnfld0 19689 . . . . 5 0 = (0g‘ℂfld)
18 eqid 2621 . . . . 5 (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
1916, 17, 18mulg0 17467 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20 mul02 10158 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
2119, 20eqtr4d 2658 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22 oveq1 6611 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23 cnring 19687 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
24 ringmnd 18477 . . . . . . . 8 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 fld ∈ Mnd
26 cnfldadd 19670 . . . . . . . 8 + = (+g‘ℂfld)
2716, 18, 26mulgnn0p1 17473 . . . . . . 7 ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
2825, 27mp3an1 1408 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29 nn0cn 11246 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 1cnd 10000 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
32 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3330, 31, 32adddird 10009 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)))
34 mulid2 9982 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
3635oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 𝐵) + (1 · 𝐵)) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
3733, 36eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
3828, 37eqeq12d 2636 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
3922, 38syl5ibr 236 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
4039expcom 451 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
41 fveq2 6148 . . . . 5 ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
42 eqid 2621 . . . . . . 7 (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
4316, 18, 42mulgnegnn 17472 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
44 nncn 10972 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
45 mulneg1 10410 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
4644, 45sylan 488 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
47 mulcl 9964 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
4844, 47sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
49 cnfldneg 19691 . . . . . . . 8 ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
5048, 49syl 17 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
5146, 50eqtr4d 2658 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
5243, 51eqeq12d 2636 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
5341, 52syl5ibr 236 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
5453expcom 451 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
553, 6, 9, 12, 15, 21, 40, 54zindd 11422 . 2 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
5655impcom 446 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  -cneg 10211  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321  Mndcmnd 17215  invgcminusg 17344  .gcmg 17461  Ringcrg 18468  ℂfldccnfld 19665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-seq 12742  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mulg 17462  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ring 18470  df-cring 18471  df-cnfld 19666 This theorem is referenced by:  zsssubrg  19723  zringmulg  19745  zringcyg  19758  mulgrhm2  19766  remulg  19872  amgmlem  24616  cnzh  29796  rezh  29797
 Copyright terms: Public domain W3C validator