Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlrelat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlrelat1 33425
Description: An atomistic lattice with 0 is relatively atomic. Part of Lemma 7.2 of [MaedaMaeda] p. 30. (chpssati 28408, with swapped, analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
atlrelat1.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlrelat1.l = (le‘𝐾)
atlrelat1.s < = (lt‘𝐾)
atlrelat1.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlrelat1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   < (𝑝)

Proof of Theorem atlrelat1
StepHypRef Expression
1 simp13 1085 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlpos 33405 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
4 atlrelat1.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atlrelat1.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
6 atlrelat1.s . . . . 5 < = (lt‘𝐾)
74, 5, 6pltnle 16731 . . . 4 (((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ¬ 𝑌 𝑋)
87ex 448 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 𝑋))
93, 8syld3an1 1363 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ¬ 𝑌 𝑋))
10 iman 438 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ¬ (𝑝 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 𝑋))
11 ancom 464 . . . . . . 7 ((𝑝 𝑌 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
1210, 11xchbinx 322 . . . . . 6 ((𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
1312ralbii 2958 . . . . 5 (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋) ↔ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
14 atlrelat1.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
154, 5, 14atlatle 33424 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
16153com23 1262 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ ∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋)))
1716biimprd 236 . . . . 5 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 (𝑝 𝑌𝑝 𝑋) → 𝑌 𝑋))
1813, 17syl5bir 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌) → 𝑌 𝑋))
1918con3d 146 . . 3 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋 → ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
20 dfrex2 2974 . . 3 (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌) ↔ ¬ ∀𝑝𝐴 ¬ (¬ 𝑝 𝑋𝑝 𝑌))
2119, 20syl6ibr 240 . 2 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
229, 21syld 45 1 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋𝑝 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892   class class class wbr 4573  cfv 5786  Basecbs 15637  lecple 15717  Posetcpo 16705  ltcplt 16706  CLatccla 16872  OMLcoml 33279  Atomscatm 33367  AtLatcal 33368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  33443  hlrelat1  33503
  Copyright terms: Public domain W3C validator