MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttr 10706
Description: Alias for axlttrn 10702, for naming consistency with lttri 10755. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10601. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)
Assertion
Ref Expression
lttr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr
StepHypRef Expression
1 axlttrn 10702 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5058  cr 10525   < clt 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669
This theorem is referenced by:  ltso  10710  lelttr  10720  ltletr  10721  lttri  10755  lttrd  10790  lt2sub  11127  mulgt1  11488  recgt1i  11526  recreclt  11528  sup2  11586  nnge1  11654  recnz  12046  gtndiv  12048  xrlttr  12523  fzo1fzo0n0  13078  flflp1  13167  1mod  13261  seqf1olem1  13399  expnbnd  13583  expnlbnd  13584  swrd2lsw  14304  2swrd2eqwrdeq  14305  sin01gt0  15533  cos01gt0  15534  p1modz1  15604  ltoddhalfle  15700  nno  15723  dvdsnprmd  16024  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmul0  21400  iscmet3lem1  23823  bcthlem4  23859  bcthlem5  23860  ivthlem2  23982  ovolicc2lem3  24049  mbfaddlem  24190  reeff1olem  24963  logdivlti  25130  ftalem2  25579  chtub  25716  bclbnd  25784  efexple  25785  bposlem1  25788  lgsquadlem2  25885  pntlem3  26113  axlowdimlem16  26671  pthdlem1  27475  wwlksnredwwlkn  27601  clwwlkel  27753  clwwlknonex2lem2  27815  frgrogt3nreg  28104  poimirlem2  34776  stoweidlem34  42200  m1mod0mod1  43410  smonoord  43412  sbgoldbalt  43793  bgoldbtbndlem3  43819  bgoldbtbndlem4  43820  tgoldbach  43829  difmodm1lt  44480  regt1loggt0  44494  rege1logbrege0  44516  dignn0flhalflem1  44573
  Copyright terms: Public domain W3C validator