Theorem lttr 10717

Description: Alias for axlttrn 10713, for naming consistency with lttri 10766. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttrn 10612. (Contributed by NM, 10-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lttr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttrn 10713	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680

This theorem is referenced by:  ltso  10721  lelttr  10731  ltletr  10732  lttri  10766  lttrd  10801  lt2sub  11138  mulgt1  11499  recgt1i  11537  recreclt  11539  sup2  11597  nnge1  11666  recnz  12058  gtndiv  12060  xrlttr  12534  fzo1fzo0n0  13089  flflp1  13178  1mod  13272  seqf1olem1  13410  expnbnd  13594  expnlbnd  13595  swrd2lsw  14314  2swrd2eqwrdeq  14315  sin01gt0  15543  cos01gt0  15544  p1modz1  15614  ltoddhalfle  15710  nno  15733  dvdsnprmd  16034  chfacfscmul0  21466  chfacfpmmul0  21470  iscmet3lem1  23894  bcthlem4  23930  bcthlem5  23931  ivthlem2  24053  ovolicc2lem3  24120  mbfaddlem  24261  reeff1olem  25034  logdivlti  25203  ftalem2  25651  chtub  25788  bclbnd  25856  efexple  25857  bposlem1  25860  lgsquadlem2  25957  pntlem3  26185  axlowdimlem16  26743  pthdlem1  27547  wwlksnredwwlkn  27673  clwwlkel  27825  clwwlknonex2lem2  27887  frgrogt3nreg  28176  poimirlem2  34909  stoweidlem34  42339  m1mod0mod1  43549  smonoord  43551  sbgoldbalt  43966  bgoldbtbndlem3  43992  bgoldbtbndlem4  43993  tgoldbach  44002  difmodm1lt  44602  regt1loggt0  44616  rege1logbrege0  44638  dignn0flhalflem1  44695