HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chlimi 27937
Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
chlim.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
chlimi ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)

Proof of Theorem chlimi
Dummy variables 𝑥 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isch2 27926 . . . 4 (𝐻C ↔ (𝐻S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
21simprbi 480 . . 3 (𝐻C → ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻))
3 nnex 10970 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
4 fex 6444 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶𝐻 ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
53, 4mpan2 706 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹 ∈ V)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
7 feq1 5983 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:ℕ⟶𝐻𝐹:ℕ⟶𝐻))
8 breq1 4616 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝑥))
97, 8anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥)))
109imbi1d 331 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1110albidv 1846 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → (∀𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
1211spcgv 3279 . . . . . 6 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻)))
13 chlim.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
14 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑣 𝑥𝐹𝑣 𝐴))
1514anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) ↔ (𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴)))
16 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐻𝐴𝐻))
1715, 16imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) ↔ ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
1813, 17spcv 3285 . . . . . 6 (∀𝑥((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
1912, 18syl6 35 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
206, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)))
2120pm2.43b 55 . . 3 (∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶𝐻𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥𝐻) → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
222, 21syl 17 . 2 (𝐻C → ((𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻))
23223impib 1259 1 ((𝐻C𝐹:ℕ⟶𝐻𝐹𝑣 𝐴) → 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  wf 5843  cn 10964  𝑣 chli 27630   S csh 27631   C cch 27632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-map 7804  df-nn 10965  df-ch 27924
This theorem is referenced by:  hhsscms  27982  chintcli  28036  chscllem4  28345
  Copyright terms: Public domain W3C validator