MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  connsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem connsub 21147
Description: Two equivalent ways of saying that a subspace topology is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
connsub ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Proof of Theorem connsub
StepHypRef Expression
1 connsuba 21146 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆)))
2 inss1 3816 . . . . . . 7 (𝑥𝑦) ⊆ 𝑥
3 toponss 20653 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
43ad2ant2r 782 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝑋)
52, 4syl5ss 3598 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑦) ⊆ 𝑋)
6 reldisj 3997 . . . . . 6 ((𝑥𝑦) ⊆ 𝑋 → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅ ↔ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)))
873anbi3d 1402 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) ↔ ((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆))))
9 sseqin2 3800 . . . . . . 7 (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆)
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑆 ⊆ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆))
1110bicomd 213 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = 𝑆𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
1211necon3abid 2826 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦)))
138, 12imbi12d 334 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
14132ralbidva 2983 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) = ∅) → ((𝑥𝑦) ∩ 𝑆) ≠ 𝑆) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
151, 14bitrd 268 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) → ((𝐽t 𝑆) ∈ Conn ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (((𝑥𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑦𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑥𝑦) ⊆ (𝑋𝑆)) → ¬ 𝑆 ⊆ (𝑥𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  cdif 3556  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  cfv 5852  (class class class)co 6610  t crest 16013  TopOnctopon 20647  Conncconn 21137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911  df-fi 8269  df-rest 16015  df-topgen 16036  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674  df-cld 20746  df-conn 21138
This theorem is referenced by:  iunconn  21154  clsconn  21156  reconn  22554  iunconnlem2  38689
  Copyright terms: Public domain W3C validator