Theorem domwdom 9038

Description: Weak dominance is implied by dominance in the usual sense. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
domwdom	⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Proof of Theorem domwdom

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neqne 3024	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
2	1	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
3		reldom 8515	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
4	3	brrelex1i 5608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ∈ V)
5		0sdomg 8646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ V → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → (∅ ≺ 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∅ ≺ 𝑋)
9		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≼ 𝑌)
10		fodomr 8668	. . . . 5 ⊢ ((∅ ≺ 𝑋 ∧ 𝑋 ≼ 𝑌) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
11	8, 9, 10	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≼ 𝑌 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)
12	11	ex 415	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (¬ 𝑋 = ∅ → ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
13	12	orrd 859	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋))
14	3	brrelex2i 5609	. . 3 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑌 ∈ V)
15		brwdom 9031	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ V → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
16	14, 15	syl 17	. 2 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → (𝑋 ≼* 𝑌 ↔ (𝑋 = ∅ ∨ ∃𝑦 𝑦:𝑌–onto→𝑋)))
17	13, 16	mpbird 259	1 ⊢ (𝑋 ≼ 𝑌 → 𝑋 ≼* 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  ∅c0 4291   class class class wbr 5066  –onto→wfo 6353   ≼ cdom 8507   ≺ csdm 8508   ≼^* cwdom 9021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-wdom 9023

This theorem is referenced by:  wdomen1  9040  wdomen2  9041  wdom2d  9044  wdomima2g  9050  unxpwdom2  9052  unxpwdom  9053  harwdom  9054  wdomfil  9487  wdomnumr  9490  pwdjudom  9638  hsmexlem1  9848  hsmexlem4  9851