Theorem elfzle3 12914

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the bounds are comparable. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzle3	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem elfzle3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz2 12913	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzle 12257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ≤ cle 10676  ℤ_≥cuz 12244  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-neg 10873  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894

This theorem is referenced by:  pntpbnd1  26162