MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzle 11685
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzle (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)

Proof of Theorem eluzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 11678 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
21simp3bi 1076 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  cfv 5876  cle 10060  cz 11362  cuz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673
This theorem is referenced by:  uztrn  11689  uzneg  11691  uzss  11693  uz11  11695  eluzp1l  11697  uzm1  11703  uzin  11705  uzind4  11731  uzwo  11736  uzsupss  11765  zgt1rpn0n1  11856  elfz5  12319  elfzle1  12329  elfzle2  12330  elfzle3  12332  uzsplit  12396  uzdisj  12397  uznfz  12407  elfz2nn0  12415  uzsubfz0  12431  nn0disj  12439  fzouzdisj  12488  fldiv4lem1div2uz2  12620  m1modge3gt1  12700  expmulnbnd  12979  seqcoll  13231  swrdlen2  13427  swrdfv2  13428  rexuzre  14073  rlimclim1  14257  isercoll  14379  iseralt  14396  o1fsum  14526  mertenslem1  14597  fprodeq0  14686  efcllem  14789  rpnnen2lem9  14932  smuval2  15185  smupvallem  15186  isprm7  15401  hashdvds  15461  pcmpt2  15578  pcfaclem  15583  pcfac  15584  vdwlem6  15671  ramtlecl  15685  prmlem1  15795  prmlem2  15808  znfld  19890  lmnn  23042  mbflimsup  23414  mbfi1fseqlem6  23468  dvfsumge  23766  plyco0  23929  coeeulem  23961  radcnvlem2  24149  log2tlbnd  24653  lgamgulmlem4  24739  lgamcvg2  24762  chtub  24918  chpval2  24924  chpchtsum  24925  bcmax  24984  bpos1lem  24988  bpos1  24989  bposlem3  24992  bposlem4  24993  bposlem5  24994  bposlem6  24995  lgslem1  25003  lgsdirprm  25037  lgseisen  25085  m1lgs  25094  dchrisumlema  25158  dchrisumlem2  25160  dchrisum0lem1  25186  axlowdimlem3  25805  axlowdimlem6  25808  axlowdimlem7  25809  axlowdimlem16  25818  axlowdimlem17  25819  minvecolem3  27702  minvecolem4  27706  breprexplemc  30684  subfacval3  31145  climuzcnv  31539  knoppndvlem6  32483  poimirlem29  33409  fdc  33512  jm2.24nn  37345  jm2.23  37382  expdiophlem1  37407  hashnzfz2  38340  bccbc  38364  binomcxplemnn0  38368  ssinc  39084  ssdec  39085  fzdifsuc2  39338  uzfissfz  39355  iuneqfzuzlem  39363  ssuzfz  39378  uzublem  39470  uzinico  39590  fmul01lt1lem1  39616  climsuselem1  39639  climsuse  39640  limsupubuzlem  39744  limsupequzlem  39754  limsupmnfuzlem  39758  limsupre3uzlem  39767  ioodvbdlimc1lem2  39910  ioodvbdlimc2lem  39912  iblspltprt  39952  itgspltprt  39958  stoweidlem11  39991  stirlinglem11  40064  fourierdlem79  40165  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  vonioolem1  40657  fmtnoprmfac1  41242  fmtnoprmfac2lem1  41243  lighneallem2  41288  lighneallem4a  41290  gboge9  41417  bgoldbnnsum3prm  41457  nnolog2flm1  42149
  Copyright terms: Public domain W3C validator