MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapssres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapssres 7879
Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapssres ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷))

Proof of Theorem elmapssres
StepHypRef Expression
1 elmapi 7876 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
2 fssres 6068 . . 3 ((𝐴:𝐶𝐵𝐷𝐶) → (𝐴𝐷):𝐷𝐵)
31, 2sylan 488 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷):𝐷𝐵)
4 elmapex 7875 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
54simpld 475 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
65adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → 𝐵 ∈ V)
74simprd 479 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8 ssexg 4802 . . . . 5 ((𝐷𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ V)
98ancoms 469 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → 𝐷 ∈ V)
107, 9sylan 488 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → 𝐷 ∈ V)
116, 10elmapd 7868 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → ((𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷) ↔ (𝐴𝐷):𝐷𝐵))
123, 11mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  Vcvv 3198  wss 3572  cres 5114  wf 5882  (class class class)co 6647  𝑚 cmap 7854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-map 7856
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  18374  mdetmul  20423  mapfzcons1cl  37107  mzpcompact2lem  37140  diophin  37162  eldiophss  37164  eldioph4b  37201  mccllem  39635  iccpartres  41124  lincresunit3lem2  42040
  Copyright terms: Public domain W3C validator