Theorem elpaddat 36955

Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
paddfval.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
paddfval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
elpaddat	⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ∨ ,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝

Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpl2 1188	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
3		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4742	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5		simpr 487	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6		snnzg 4710	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
8		paddfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		paddfval.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		paddfval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		paddfval.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
12	8, 9, 10, 11	elpaddn0 36951	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
13	1, 2, 4, 5, 7, 12	syl32anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟))))
14		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 ∨ 𝑟) = (𝑝 ∨ 𝑄))
15	14	breq2d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
16	15	rexsng 4614	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
17	3, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
18	17	rexbidv 3297	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄)))
19	18	anbi2d 630	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑟)) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))
20	13, 19	bitrd 281	1 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝑋 𝑆 ≤ (𝑝 ∨ 𝑄))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  lecple 16572  joincjn 17554  Latclat 17655  Atomscatm 36414  +_𝑃cpadd 36946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-lub 17584  df-join 17586  df-lat 17656  df-ats 36418  df-padd 36947

This theorem is referenced by:  elpaddatiN  36956  elpadd2at  36957  pclfinclN  37101