MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en2 8147
Description: A set equinumerous to ordinal 2 is a pair. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
en2 (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem en2
StepHypRef Expression
1 1onn 7671 . 2 1𝑜 ∈ ω
2 df-2o 7513 . 2 2𝑜 = suc 1𝑜
3 en1 7974 . . 3 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
43biimpi 206 . 2 ((𝐴 ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 → ∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦})
5 df-pr 4156 . . . 4 {𝑥, 𝑦} = ({𝑥} ∪ {𝑦})
65enp1ilem 8145 . . 3 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
76eximdv 1843 . 2 (𝑥𝐴 → (∃𝑦(𝐴 ∖ {𝑥}) = {𝑦} → ∃𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦}))
81, 2, 4, 7enp1i 8146 1 (𝐴 ≈ 2𝑜 → ∃𝑥𝑦 𝐴 = {𝑥, 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  cdif 3556  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  cen 7903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-2o 7513  df-er 7694  df-en 7907  df-fin 7910
This theorem is referenced by:  en3  8148  hash2pr  13196  pmtrrn2  17808
  Copyright terms: Public domain W3C validator