MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1otrspeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1otrspeq 17783
Description: A transposition is characterized by the points it moves. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1otrspeq (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem f1otrspeq
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ofn 6097 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐹 Fn 𝐴)
21ad2antrr 761 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 Fn 𝐴)
3 f1ofn 6097 . . 3 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝐺 Fn 𝐴)
43ad2antlr 762 . 2 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐺 Fn 𝐴)
5 1onn 7665 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
65a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → 1𝑜 ∈ ω)
7 simplrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
8 simplrl 799 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
9 df-2o 7507 . . . . . . . . 9 2𝑜 = suc 1𝑜
108, 9syl6breq 4659 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ suc 1𝑜)
117, 10eqbrtrd 4640 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1𝑜)
12 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ))
13 dif1en 8138 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ ω ∧ dom (𝐺 ∖ I ) ≈ suc 1𝑜𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜)
146, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜)
15 euen1b 7972 . . . . . . 7 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 ↔ ∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
16 eumo 2503 . . . . . . 7 (∃!𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1715, 16sylbi 207 . . . . . 6 ((dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ≈ 1𝑜 → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
1814, 17syl 17 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
19 f1omvdmvd 17779 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2019ex 450 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐴 → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2120ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
22 eleq2 2693 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
2322ad2antll 764 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
24 difeq1 3704 . . . . . . . . 9 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) = (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
2524eleq2d 2689 . . . . . . . 8 (dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2625ad2antll 764 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐹 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2721, 23, 263imtr4d 283 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
2827imp 445 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
29 simplr 791 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐴)
30 f1omvdmvd 17779 . . . . . 6 ((𝐺:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
3129, 30sylan 488 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))
32 fvex 6160 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
33 fvex 6160 . . . . . . 7 (𝐺𝑥) ∈ V
3432, 33pm3.2i 471 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V)
35 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
36 eleq1 2692 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐺𝑥) → (𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ↔ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥})))
3735, 36moi 3376 . . . . . 6 ((((𝐹𝑥) ∈ V ∧ (𝐺𝑥) ∈ V) ∧ ∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3834, 37mp3an1 1408 . . . . 5 ((∃*𝑦 𝑦 ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ ((𝐹𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}) ∧ (𝐺𝑥) ∈ (dom (𝐺 ∖ I ) ∖ {𝑥}))) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
3918, 28, 31, 38syl12anc 1321 . . . 4 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
4039adantlr 750 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
41 simplrr 800 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
4241eleq2d 2689 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ 𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I )))
43 fnelnfp 6398 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
442, 43sylan 488 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4542, 44bitrd 268 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐹𝑥) ≠ 𝑥))
4645necon2bbid 2839 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
4746biimpar 502 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
48 fnelnfp 6398 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
494, 48sylan 488 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I ) ↔ (𝐺𝑥) ≠ 𝑥))
5049necon2bbid 2839 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )))
5150biimpar 502 . . . 4 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐺𝑥) = 𝑥)
5247, 51eqtr4d 2663 . . 3 (((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom (𝐺 ∖ I )) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
5340, 52pm2.61dan 831 . 2 ((((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
542, 4, 53eqfnfvd 6271 1 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐴𝐺:𝐴1-1-onto𝐴) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom (𝐺 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  ∃!weu 2474  ∃*wmo 2475  wne 2796  Vcvv 3191  cdif 3557  {csn 4153   class class class wbr 4618   I cid 4989  dom cdm 5079  suc csuc 5687   Fn wfn 5845  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  ωcom 7013  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500  cen 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-fin 7904
This theorem is referenced by:  pmtrfb  17801  psgnunilem1  17829
  Copyright terms: Public domain W3C validator