Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fusgreg2wsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fusgreg2wsp 27316
 Description: In a finite simple graph, the set of all paths of length 2 is the union of all the paths of length 2 over the vertices which are in the middle of such a path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Mar-2018.) (Revised by AV, 18-May-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrhash2wsp.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgreg2wsp.m 𝑀 = (𝑎𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})
Assertion
Ref Expression
fusgreg2wsp (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 (𝑀𝑥))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎   𝑤,𝐺,𝑎,𝑥   𝑥,𝑉,𝑎   𝑥,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑤,𝑎)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem fusgreg2wsp
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsswwlkn 26883 . . . . . . . 8 (2 WSPathsN 𝐺) ⊆ (2 WWalksN 𝐺)
21sseli 3632 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → 𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺))
3 frgrhash2wsp.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43midwwlks2s3 26917 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (2 WWalksN 𝐺) → ∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥)
65a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) → ∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥))
76pm4.71rd 668 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ (∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺))))
8 ancom 465 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ((𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
98rexbii 3070 . . . . . 6 (∃𝑥𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
10 r19.41v 3118 . . . . . 6 (∃𝑥𝑉 ((𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ (∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)))
119, 10bitr2i 265 . . . . 5 ((∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥))
1211a1i 11 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → ((∃𝑥𝑉 (𝑝‘1) = 𝑥𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺)) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
13 fusgreg2wsp.m . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑎𝑉 ↦ {𝑤 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∣ (𝑤‘1) = 𝑎})
143, 13fusgreg2wsplem 27313 . . . . . . 7 (𝑥𝑉 → (𝑝 ∈ (𝑀𝑥) ↔ (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥)))
1514bicomd 213 . . . . . 6 (𝑥𝑉 → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀𝑥)))
1615adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ 𝑝 ∈ (𝑀𝑥)))
1716rexbidva 3078 . . . 4 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (∃𝑥𝑉 (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ∧ (𝑝‘1) = 𝑥) ↔ ∃𝑥𝑉 𝑝 ∈ (𝑀𝑥)))
187, 12, 173bitrd 294 . . 3 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑥𝑉 𝑝 ∈ (𝑀𝑥)))
19 eliun 4556 . . 3 (𝑝 𝑥𝑉 (𝑀𝑥) ↔ ∃𝑥𝑉 𝑝 ∈ (𝑀𝑥))
2018, 19syl6bbr 278 . 2 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (𝑝 ∈ (2 WSPathsN 𝐺) ↔ 𝑝 𝑥𝑉 (𝑀𝑥)))
2120eqrdv 2649 1 (𝐺 ∈ FinUSGraph → (2 WSPathsN 𝐺) = 𝑥𝑉 (𝑀𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945  ∪ ciun 4552   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  2c2 11108  Vtxcvtx 25919  FinUSGraphcfusgr 26253   WWalksN cwwlksn 26774   WSPathsN cwwspthsn 26776 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-s2 13639  df-s3 13640  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wspthsn 26781 This theorem is referenced by:  fusgreghash2wsp  27318
 Copyright terms: Public domain W3C validator