MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gicen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gicen 17766
Description: Isomorphic groups have equinumerous base sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gicen.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
gicen.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gicen (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)

Proof of Theorem gicen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 17758 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 n0 3964 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
3 gicen.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 gicen.c . . . . . 6 𝐶 = (Base‘𝑆)
53, 4gimf1o 17752 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐶)
6 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
73, 6eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
87f1oen 8018 . . . . 5 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐶𝐵𝐶)
95, 8syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
109exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) → 𝐵𝐶)
112, 10sylbi 207 . 2 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ → 𝐵𝐶)
121, 11sylbi 207 1 (𝑅𝑔 𝑆𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  cen 7994  Basecbs 15904   GrpIso cgim 17746  𝑔 cgic 17747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-1o 7605  df-en 7998  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-gic 17749
This theorem is referenced by:  cyggic  19969  sconnpi1  31347
  Copyright terms: Public domain W3C validator