MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gictr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gictr 17649
Description: Isomorphism is transitive. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
gictr ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)

Proof of Theorem gictr
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brgic 17643 . 2 (𝑅𝑔 𝑆 ↔ (𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅)
2 brgic 17643 . 2 (𝑆𝑔 𝑇 ↔ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅)
3 n0 3912 . . 3 ((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆))
4 n0 3912 . . 3 ((𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇))
5 eeanv 2181 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)))
6 gimco 17642 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇))
7 brgici 17644 . . . . . . 7 ((𝑔𝑓) ∈ (𝑅 GrpIso 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇) ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆)) → 𝑅𝑔 𝑇)
98ancoms 469 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
109exlimivv 1857 . . . 4 (∃𝑓𝑔(𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
115, 10sylbir 225 . . 3 ((∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑅 GrpIso 𝑆) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑆 GrpIso 𝑇)) → 𝑅𝑔 𝑇)
123, 4, 11syl2anb 496 . 2 (((𝑅 GrpIso 𝑆) ≠ ∅ ∧ (𝑆 GrpIso 𝑇) ≠ ∅) → 𝑅𝑔 𝑇)
131, 2, 12syl2anb 496 1 ((𝑅𝑔 𝑆𝑆𝑔 𝑇) → 𝑅𝑔 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  c0 3896   class class class wbr 4618  ccom 5083  (class class class)co 6610   GrpIso cgim 17631  𝑔 cgic 17632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-1o 7512  df-map 7811  df-0g 16034  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-ghm 17590  df-gim 17633  df-gic 17634
This theorem is referenced by:  gicer  17650  gicerOLD  17651  cyggic  19853
  Copyright terms: Public domain W3C validator