MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 16454
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
homarcl2.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6115 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 6530 . . . 4 (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2eleq2s 2705 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homa𝐶)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
64homarcl 16447 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 16449 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V))
8 fdm 5950 . . . 4 (𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
97, 8syl 17 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
103, 9eleqtrd 2689 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
11 opelxp 5060 . 2 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵))
1210, 11sylib 206 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  𝒫 cpw 4107  cop 4130   × cxp 5026  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  Homachoma 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-homa 16445
This theorem is referenced by:  homarel  16455  homa1  16456  homahom2  16457  homadm  16459  homacd  16460  arwdm  16466  arwcd  16467  coahom  16489  arwlid  16491  arwrid  16492  arwass  16493
  Copyright terms: Public domain W3C validator