MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbssp 18846
Description: The span of a basis is the whole space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lbsss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lbsss.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lbssp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lbssp (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)

Proof of Theorem lbssp
Dummy variables 𝑦 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6115 . . . . 5 (𝐵 ∈ (LBasis‘𝑊) → 𝑊 ∈ dom LBasis)
2 lbsss.j . . . . 5 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
31, 2eleq2s 2705 . . . 4 (𝐵𝐽𝑊 ∈ dom LBasis)
4 lbsss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2609 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6 eqid 2609 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
7 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
8 lbssp.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 eqid 2609 . . . . 5 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
104, 5, 6, 7, 2, 8, 9islbs 18843 . . . 4 (𝑊 ∈ dom LBasis → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
113, 10syl 17 . . 3 (𝐵𝐽 → (𝐵𝐽 ↔ (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
1211ibi 254 . 2 (𝐵𝐽 → (𝐵𝑉 ∧ (𝑁𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝑊))}) ¬ (𝑦( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
1312simp2d 1066 1 (𝐵𝐽 → (𝑁𝐵) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cdif 3536  wss 3539  {csn 4124  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  LSpanclspn 18738  LBasisclbs 18841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-ov 6530  df-lbs 18842
This theorem is referenced by:  islbs2  18921  islbs3  18922  frlmup3  19900  frlmup4  19901  lmimlbs  19936  lbslcic  19941  lindsdom  32376  matunitlindflem2  32379  aacllem  42319
  Copyright terms: Public domain W3C validator