Theorem islbs3 19910

Description: An equivalent formulation of the basis predicate: a subset is a basis iff it is a minimal spanning set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
islbs2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islbs2.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
islbs2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islbs3	⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝑁,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝐽,𝑠

Proof of Theorem islbs3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islbs2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islbs2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
3	1, 2	lbsss 19832	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → 𝐵 ⊆ 𝑉)
4	3	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
5		islbs2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
6	1, 2, 5	lbssp 19834	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐽 → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
7	6	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
8		lveclmod 19861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
10		pssss 4060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ⊊ 𝐵 → 𝑠 ⊆ 𝐵)
11	10, 3	sylan9ssr 3969	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
12	11	3adant1 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → 𝑠 ⊆ 𝑉)
13	1, 5	lspssv 19738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
14	9, 12, 13	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉)
15		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
16	15	lvecdrng 19860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
17		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
18		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
19	17, 18	drngunz 19500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	8, 20	jca 514	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22	2, 5, 15, 18, 17, 1	lbspss 19837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
23	21, 22	syl3an1 1159	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉)
24		df-pss 3942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘𝑠) ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝑠) ≠ 𝑉))
25	14, 23, 24	sylanbrc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽 ∧ 𝑠 ⊊ 𝐵) → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)
26	25	3expia 1117	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
27	26	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
28	4, 7, 27	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐵 ∈ 𝐽) → (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉)))
29		simpr1 1190	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
30		simpr2 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
31		simplr1 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝑉)
32	31	ssdifssd 4107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
33	1	fvexi 6670	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
34		ssexg 5213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ∈ V) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
35	32, 33, 34	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V)
36		simplr3 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))
37		difssd 4097	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
38		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		neldifsn 4711	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})
40		nelne1 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
41	38, 39, 40	sylancl 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐵 ≠ (𝐵 ∖ {𝑥}))
42	41	necomd 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵)
43		df-pss 3942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ≠ 𝐵))
44	37, 42, 43	sylanbrc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵)
45		psseq1 4052	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑠 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵))
46		fveq2 6656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → (𝑁‘𝑠) = (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
47	46	psseq1d 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉 ↔ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉))
48	45, 47	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = (𝐵 ∖ {𝑥}) → ((𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) ↔ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
49	48	spcgv 3587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∈ V → (∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ⊊ 𝐵 → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)))
50	35, 36, 44, 49	syl3c 66	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉)
51		dfpss3 4051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 ↔ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊆ 𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
52	51	simprbi 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ⊊ 𝑉 → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
53	50, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
54		simplr2 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) = 𝑉)
55	8	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑊 ∈ LMod)
56	32	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉)
57		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
58	1, 57, 5	lspcl 19731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
59	55, 56, 58	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
60		ssun1 4136	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐵 ∪ {𝑥})
61		undif1 4410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = (𝐵 ∪ {𝑥})
62	60, 61	sseqtrri 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥})
63	1, 5	lspssid 19740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝑉) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
64	55, 56, 63	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝐵 ∖ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
65		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
66	65	snssd 4728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → {𝑥} ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
67	64, 66	unssd 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → ((𝐵 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
68	62, 67	sstrid 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
69	57, 5	lspssp 19743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝐵 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
70	55, 59, 68, 69	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → (𝑁‘𝐵) ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
71	54, 70	eqsstrrd 3994	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
72	71	expr 459	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥}))))
73	53, 72	mtod 200	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
74	73	ralrimiva 3182	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))
75	1, 2, 5	islbs2 19909	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
76	75	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝐵 ∖ {𝑥})))))
77	29, 30, 74, 76	mpbir3and 1338	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))) → 𝐵 ∈ 𝐽)
78	28, 77	impbida 799	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝐵 ∈ 𝐽 ↔ (𝐵 ⊆ 𝑉 ∧ (𝑁‘𝐵) = 𝑉 ∧ ∀𝑠(𝑠 ⊊ 𝐵 → (𝑁‘𝑠) ⊊ 𝑉))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3486   ∖ cdif 3921   ∪ cun 3922   ⊆ wss 3924   ⊊ wpss 3925  {csn 4553  ‘cfv 6341  Basecbs 16466  Scalarcsca 16551  0_gc0g 16696  1_rcur 19234  DivRingcdr 19485  LModclmod 19617  LSubSpclss 19686  LSpanclspn 19726  LBasisclbs 19829  LVecclvec 19857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-0g 16698  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-mgp 19223  df-ur 19235  df-ring 19282  df-oppr 19356  df-dvdsr 19374  df-unit 19375  df-invr 19405  df-drng 19487  df-lmod 19619  df-lss 19687  df-lsp 19727  df-lbs 19830  df-lvec 19858

This theorem is referenced by:  obslbs  20857