MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimlbs 20169
Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmimlbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmimlbs ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs
StepHypRef Expression
1 lmimlmhm 19058 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
21adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
3 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
53, 4lmimf1o 19057 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
6 f1of1 6134 . . . . 5 (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
87adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
9 lmimlbs.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
109lbslinds 20166 . . . . 5 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑆)
1110sseli 3597 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
1211adantl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
133, 4lindsmm2 20162 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆)) → (𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
142, 8, 12, 13syl3anc 1325 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
15 eqid 2621 . . . . . 6 (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
163, 9, 15lbssp 19073 . . . . 5 (𝐵𝐽 → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
1817imaeq2d 5464 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = (𝐹 “ (Base‘𝑆)))
193, 9lbsss 19071 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
20 eqid 2621 . . . . 5 (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
213, 15, 20lmhmlsp 19043 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)))
221, 19, 21syl2an 494 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)))
235adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
24 f1ofo 6142 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇))
25 foima 6118 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
2623, 24, 253syl 18 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
2718, 22, 263eqtr3d 2663 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)) = (Base‘𝑇))
28 lmimlbs.k . . 3 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
294, 28, 20islbs4 20165 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)) = (Base‘𝑇)))
3014, 27, 29sylanbrc 698 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  wss 3572  cima 5115  1-1wf1 5883  ontowfo 5884  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  LSpanclspn 18965   LMHom clmhm 19013   LMIso clmim 19014  LBasisclbs 19068  LIndSclinds 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-sbg 17421  df-subg 17585  df-ghm 17652  df-mgp 18484  df-ur 18496  df-ring 18543  df-lmod 18859  df-lss 18927  df-lsp 18966  df-lmhm 19016  df-lmim 19017  df-lbs 19069  df-lindf 20139  df-linds 20140
This theorem is referenced by:  lmiclbs  20170
  Copyright terms: Public domain W3C validator