MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmimlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmimlbs 19897
Description: The isomorphic image of a basis is a basis. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmimlbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
lmimlbs.k 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmimlbs ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem lmimlbs
StepHypRef Expression
1 lmimlmhm 18789 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
21adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
3 eqid 2514 . . . . . 6 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4 eqid 2514 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
53, 4lmimf1o 18788 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
6 f1of1 5933 . . . . 5 (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
87adantr 479 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇))
9 lmimlbs.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑆)
109lbslinds 19894 . . . . 5 𝐽 ⊆ (LIndS‘𝑆)
1110sseli 3468 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
1211adantl 480 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆))
133, 4lindsmm2 19890 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1→(Base‘𝑇) ∧ 𝐵 ∈ (LIndS‘𝑆)) → (𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
142, 8, 12, 13syl3anc 1317 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇))
15 eqid 2514 . . . . . 6 (LSpan‘𝑆) = (LSpan‘𝑆)
163, 9, 15lbssp 18804 . . . . 5 (𝐵𝐽 → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
1716adantl 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → ((LSpan‘𝑆)‘𝐵) = (Base‘𝑆))
1817imaeq2d 5276 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = (𝐹 “ (Base‘𝑆)))
193, 9lbsss 18802 . . . 4 (𝐵𝐽𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
20 eqid 2514 . . . . 5 (LSpan‘𝑇) = (LSpan‘𝑇)
213, 15, 20lmhmlsp 18774 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) ∧ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆)) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)))
221, 19, 21syl2an 492 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ ((LSpan‘𝑆)‘𝐵)) = ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)))
235adantr 479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → 𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇))
24 f1ofo 5941 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑆)–1-1-onto→(Base‘𝑇) → 𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇))
25 foima 5917 . . . 4 (𝐹:(Base‘𝑆)–onto→(Base‘𝑇) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
2623, 24, 253syl 18 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹 “ (Base‘𝑆)) = (Base‘𝑇))
2718, 22, 263eqtr3d 2556 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)) = (Base‘𝑇))
28 lmimlbs.k . . 3 𝐾 = (LBasis‘𝑇)
294, 28, 20islbs4 19893 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ 𝐾 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ (LIndS‘𝑇) ∧ ((LSpan‘𝑇)‘(𝐹𝐵)) = (Base‘𝑇)))
3014, 27, 29sylanbrc 694 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMIso 𝑇) ∧ 𝐵𝐽) → (𝐹𝐵) ∈ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wss 3444  cima 4935  1-1wf1 5686  ontowfo 5687  1-1-ontowf1o 5688  cfv 5689  (class class class)co 6426  Basecbs 15579  LSpanclspn 18696   LMHom clmhm 18744   LMIso clmim 18745  LBasisclbs 18799  LIndSclinds 19866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-subg 17306  df-ghm 17373  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-lmod 18595  df-lss 18658  df-lsp 18697  df-lmhm 18747  df-lmim 18748  df-lbs 18800  df-lindf 19867  df-linds 19868
This theorem is referenced by:  lmiclbs  19898
  Copyright terms: Public domain W3C validator