Theorem lbslsp 30958

Description: Any element of a left module 𝑀 can be expressed as a linear combination of the elements of a basis 𝑉 of 𝑀. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lbslsp.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lbslsp.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
lbslsp.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
lbslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
lbslsp.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
lbslsp.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
lbslsp.1	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
lbslsp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎   · ,𝑎,𝑣   𝐵,𝑎   𝐾,𝑎,𝑣   𝑀,𝑎   𝑆,𝑎   𝑉,𝑎,𝑣   𝑋,𝑎   𝜑,𝑎,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑣)   𝑆(𝑣)   𝑀(𝑣)   𝑋(𝑣)   0 (𝑣)

Proof of Theorem lbslsp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbslsp.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀))
2		lbslsp.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (LBasis‘𝑀) = (LBasis‘𝑀)
4		eqid 2820	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑀) = (LSpan‘𝑀)
5	2, 3, 4	lbssp 19844	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) = 𝐵)
7	6	eleq2d 2897	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		lbslsp.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
9		lbslsp.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
10		lbslsp.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
11		lbslsp.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
12		lbslsp.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
13	2, 3	lbsss 19842	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ (LBasis‘𝑀) → 𝑉 ⊆ 𝐵)
14	1, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝐵)
15	4, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 14	ellspds 30952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ((LSpan‘𝑀)‘𝑉) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))
16	7, 15	bitr3d 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐾 ↑m 𝑉)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ 𝑉 ↦ ((𝑎‘𝑣) · 𝑣))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3138   ⊆ wss 3929   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ↑_m cmap 8399   finSupp cfsupp 8826  Basecbs 16476  Scalarcsca 16561   ·_𝑠 cvsca 16562  0_gc0g 16706   Σ_g cgsu 16707  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LBasisclbs 19839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7402  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-supp 7824  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-fsupp 8827  df-sup 8899  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13688  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-ip 16576  df-tset 16577  df-ple 16578  df-ds 16580  df-hom 16582  df-cco 16583  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-prds 16714  df-pws 16716  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17894  df-mnd 17905  df-mhm 17949  df-submnd 17950  df-grp 18099  df-minusg 18100  df-sbg 18101  df-mulg 18218  df-subg 18269  df-ghm 18349  df-cntz 18440  df-cmn 18901  df-abl 18902  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lmhm 19787  df-lbs 19840  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-nzr 20024  df-dsmm 20869  df-frlm 20884  df-uvc 20920

This theorem is referenced by:  extdg1id  31075