Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lplnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lplnbase 35323
Description: A lattice plane is a lattice element. (Contributed by NM, 17-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lplnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lplnbase.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lplnbase (𝑋𝑃𝑋𝐵)

Proof of Theorem lplnbase
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 4063 . . . 4 (𝑋𝑃 → ¬ 𝑃 = ∅)
2 lplnbase.p . . . . 5 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
32eqeq1i 2765 . . . 4 (𝑃 = ∅ ↔ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 317 . . 3 (𝑋𝑃 → ¬ (LPlanes‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6346 . . 3 𝐾 ∈ V → (LPlanes‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 142 . 2 (𝑋𝑃𝐾 ∈ V)
7 lplnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2760 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2760 . . . 4 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
107, 8, 9, 2islpln 35319 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑃 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ (LLines‘𝐾)𝑥( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 654 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑃) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 706 1 (𝑋𝑃𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16059  ccvr 35052  LLinesclln 35280  LPlanesclpl 35281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-lplanes 35288
This theorem is referenced by:  islpln2  35325  llnmlplnN  35328  lplnnle2at  35330  lplnneat  35334  lplnnelln  35335  llncvrlpln2  35346  2lplnmN  35348  lplncmp  35351  lplnexatN  35352  lplnexllnN  35353  2llnjaN  35355  islvol3  35365  lvoli3  35366  lvolnle3at  35371  lplncvrlvol2  35404  lplncvrlvol  35405  lvolcmp  35406  2lplnm2N  35410  2lplnmj  35411  dalemyeb  35438  dalem10  35462  dalem16  35468  dalem44  35505  dalem55  35516
  Copyright terms: Public domain W3C validator