Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnnid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnnid 34234
Description: If a lattice translation is not the identity, then there is an atom not under the fiducial co-atom 𝑊 and not equal to its translation. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrneq.l = (le‘𝐾)
ltrneq.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnnid (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐹,𝑝   𝐻,𝑝   𝐾,𝑝   𝑇,𝑝   𝑊,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem ltrnnid
StepHypRef Expression
1 ralinexa 2980 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) ↔ ¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2 nne 2786 . . . . . . . 8 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝)
32biimpi 205 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝 → (𝐹𝑝) = 𝑝)
43imim2i 16 . . . . . 6 ((¬ 𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → (¬ 𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
54ralimi 2936 . . . . 5 (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → ¬ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
61, 5sylbir 224 . . . 4 (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → ∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝))
7 ltrneq.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 ltrneq.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
9 ltrneq.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 ltrneq.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 ltrneq.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
127, 8, 9, 10, 11ltrnid 34233 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (∀𝑝𝐴𝑝 𝑊 → (𝐹𝑝) = 𝑝) ↔ 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
136, 12syl5ib 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵)))
1413necon1ad 2799 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)))
15143impia 1253 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑊 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4578   I cid 4938  cres 5030  cfv 5790  Basecbs 15644  lecple 15724  Atomscatm 33362  HLchlt 33449  LHypclh 34082  LTrncltrn 34199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-map 7724  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-laut 34087  df-ldil 34202  df-ltrn 34203
This theorem is referenced by:  trlnidat  34272
  Copyright terms: Public domain W3C validator