Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapfzcons2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfzcons2 37599
 Description: Recover added element from an extended mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mapfzcons.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
mapfzcons2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)

Proof of Theorem mapfzcons2
StepHypRef Expression
1 mapfzcons.1 . . . 4 𝑀 = (𝑁 + 1)
2 ovex 6718 . . . 4 (𝑁 + 1) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . . 3 𝑀 ∈ V
43a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑀 ∈ V)
5 elex 3243 . . 3 (𝐶𝐵𝐶 ∈ V)
65adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
7 elmapi 7921 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → 𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵)
8 fdm 6089 . . . . . . 7 (𝐴:(1...𝑁)⟶𝐵 → dom 𝐴 = (1...𝑁))
97, 8syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
109adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → dom 𝐴 = (1...𝑁))
1110ineq1d 3846 . . . 4 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {𝑀}))
121sneqi 4221 . . . . . 6 {𝑀} = {(𝑁 + 1)}
1312ineq2i 3844 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
14 fzp1disj 12437 . . . . 5 ((1...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
1513, 14eqtri 2673 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅
1611, 15syl6eq 2701 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → (dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅)
17 disjsn 4278 . . 3 ((dom 𝐴 ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
1816, 17sylib 208 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴)
19 fsnunfv 6494 . 2 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ dom 𝐴) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
204, 6, 18, 19syl3anc 1366 1 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 (1...𝑁)) ∧ 𝐶𝐵) → ((𝐴 ∪ {⟨𝑀, 𝐶⟩})‘𝑀) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210  ⟨cop 4216  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  1c1 9975   + caddc 9977  ...cfz 12364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365 This theorem is referenced by:  rexrabdioph  37675
 Copyright terms: Public domain W3C validator