MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzp1disj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzp1disj 12396
Description: (𝑀...(𝑁 + 1)) is the disjoint union of (𝑀...𝑁) with {(𝑁 + 1)}. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzp1disj ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅

Proof of Theorem fzp1disj
StepHypRef Expression
1 elfzle2 12342 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
2 elfzel2 12337 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
32zred 11479 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ltp1 10858 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5 peano2re 10206 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6 ltnle 10114 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
75, 6mpdan 702 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
84, 7mpbid 222 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
93, 8syl 17 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
101, 9pm2.65i 185 . 2 ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)
11 disjsn 4244 . 2 (((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅ ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
1210, 11mpbir 221 1 ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  cin 3571  c0 3913  {csn 4175   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   < clt 10071  cle 10072  ...cfz 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324
This theorem is referenced by:  fzdifsuc  12397  fseq1p1m1  12410  fzennn  12762  gsummptfzsplit  18326  telgsumfzslem  18379  imasdsf1olem  22172  wlkp1  26572  esumfzf  30116  subfacp1lem6  31152  mapfzcons  37105  mapfzcons1  37106  mapfzcons2  37108  sge0p1  40400
  Copyright terms: Public domain W3C validator