Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measbase 30569
Description: The base set of a measure is a sigma-algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measbase (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)

Proof of Theorem measbase
Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6381 . 2 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ∈ dom measures)
2 vex 3343 . . . . 5 𝑠 ∈ V
3 ovex 6841 . . . . 5 (0[,]+∞) ∈ V
4 mapex 8029 . . . . 5 ((𝑠 ∈ V ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V)
52, 3, 4mp2an 710 . . . 4 {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)} ∈ V
6 simp1 1131 . . . . 5 ((𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦))) → 𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞))
76ss2abi 3815 . . . 4 {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))} ⊆ {𝑚𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞)}
85, 7ssexi 4955 . . 3 {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))} ∈ V
9 df-meas 30568 . . 3 measures = (𝑠 ran sigAlgebra ↦ {𝑚 ∣ (𝑚:𝑠⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑚‘∅) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝑥 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑥 𝑦) → (𝑚 𝑥) = Σ*𝑦𝑥(𝑚𝑦)))})
108, 9dmmpti 6184 . 2 dom measures = ran sigAlgebra
111, 10syl6eleq 2849 1 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  Vcvv 3340  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  Disj wdisj 4772   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cdom 8119  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  [,]cicc 12371  Σ*cesum 30398  sigAlgebracsiga 30479  measurescmeas 30567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-meas 30568
This theorem is referenced by:  measfrge0  30575  measvnul  30578  measvun  30581  measxun2  30582  measun  30583  measvuni  30586  measssd  30587  measunl  30588  measiuns  30589  measiun  30590  meascnbl  30591  measinblem  30592  measinb  30593  measinb2  30595  measdivcstOLD  30596  measdivcst  30597  aean  30616  mbfmbfm  30629  domprobsiga  30782  prob01  30784  probfinmeasbOLD  30799  probfinmeasb  30800  probmeasb  30801
  Copyright terms: Public domain W3C validator