Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measunl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measunl 30057
 Description: A measure is sub-additive with respect to union. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
measunl.1 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
measunl.2 (𝜑𝐴𝑆)
measunl.3 (𝜑𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
measunl (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))

Proof of Theorem measunl
StepHypRef Expression
1 undif1 4015 . . . 4 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6151 . . 3 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = (𝑀‘(𝐴𝐵))
3 measunl.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
4 measbase 30038 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
6 measunl.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
7 measunl.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑆)
8 difelsiga 29974 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
95, 6, 7, 8syl3anc 1323 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
10 incom 3783 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵)
11 disjdif 4012 . . . . . 6 (𝐵 ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
1210, 11eqtr3i 2645 . . . . 5 ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅)
14 measun 30052 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆𝐵𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ 𝐵) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
153, 9, 7, 13, 14syl121anc 1328 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ 𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
162, 15syl5eqr 2669 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)))
17 iccssxr 12198 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
18 measvxrge0 30046 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
193, 9, 18syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
2017, 19sseldi 3581 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
21 measvxrge0 30046 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
223, 6, 21syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (0[,]+∞))
2317, 22sseldi 3581 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ ℝ*)
24 measvxrge0 30046 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
253, 7, 24syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ (0[,]+∞))
2617, 25sseldi 3581 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐵) ∈ ℝ*)
27 inelsiga 29976 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝐴𝑆𝐵𝑆) → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
285, 6, 7, 27syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ 𝑆)
29 measvxrge0 30046 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
303, 28, 29syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞))
31 elxrge0 12223 . . . . . . 7 ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3230, 31sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵))))
3332simprd 479 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)))
3417, 30sseldi 3581 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*)
35 xraddge02 29362 . . . . . 6 (((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ*) → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3620, 34, 35syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (𝑀‘(𝐴𝐵)) → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵)))))
3733, 36mpd 15 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
38 uncom 3735 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))
39 inundif 4018 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4038, 39eqtr3i 2645 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵)) = 𝐴
4140fveq2i 6151 . . . . 5 (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = (𝑀𝐴)
42 incom 3783 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵))
43 inindif 29198 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4442, 43eqtr3i 2645 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅)
46 measun 30052 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴𝐵) ∈ 𝑆) ∧ ((𝐴𝐵) ∩ (𝐴𝐵)) = ∅) → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
473, 9, 28, 45, 46syl121anc 1328 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝐴𝐵) ∪ (𝐴𝐵))) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4841, 47syl5eqr 2669 . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐴) = ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀‘(𝐴𝐵))))
4937, 48breqtrrd 4641 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴))
50 xleadd1a 12026 . . 3 ((((𝑀‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝑀𝐵) ∈ ℝ*) ∧ (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ (𝑀𝐴)) → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5120, 23, 26, 49, 50syl31anc 1326 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐴𝐵)) +𝑒 (𝑀𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
5216, 51eqbrtrd 4635 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑀𝐴) +𝑒 (𝑀𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554  ∅c0 3891  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  ℝ*cxr 10017   ≤ cle 10019   +𝑒 cxad 11888  [,]cicc 12120  sigAlgebracsiga 29948  measurescmeas 30036 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-ac2 9229  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-ac 8883  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-plusf 17162  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-subrg 18699  df-abv 18738  df-lmod 18786  df-scaf 18787  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tmd 21786  df-tgp 21787  df-tsms 21840  df-trg 21873  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-nm 22297  df-ngp 22298  df-nrg 22300  df-nlm 22301  df-ii 22588  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-esum 29868  df-siga 29949  df-meas 30037 This theorem is referenced by:  aean  30085
 Copyright terms: Public domain W3C validator