Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measinb 30591
Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measinb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 30567 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
32ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simpr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5 simplr 809 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑆)
6 inelsiga 30505 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 30575 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 696 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 eqid 2758 . . 3 (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
119, 10fmptd 6546 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
12 eqidd 2759 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
13 ineq1 3948 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
14 0in 4110 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝐴) = ∅
1513, 14syl6eq 2808 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅)
1615fveq2d 6354 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
1716adantl 473 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
18 measvnul 30576 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
1918ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2017, 19eqtrd 2792 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = 0)
212adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 30484 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
24 0red 10231 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ∈ ℝ)
2512, 20, 23, 24fvmptd 6448 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0)
26 measinblem 30590 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
27 eqidd 2759 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
28 ineq1 3948 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
2928adantl 473 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
3029fveq2d 6354 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
31 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3231, 2syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
33 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
34 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
35 sigaclcu 30487 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧 ≼ ω) → 𝑧𝑆)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧𝑆)
37 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝐴𝑆)
38 inelsiga 30505 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧𝑆𝐴𝑆) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
3932, 36, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
40 measvxrge0 30575 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4131, 39, 40syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4227, 30, 36, 41fvmptd 6448 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
43 eqidd 2759 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
44 ineq1 3948 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4544adantl 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4645fveq2d 6354 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
47 elpwi 4310 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑆)
4847ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧𝑆)
49 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
5048, 49sseldd 3743 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑆)
51 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
5251, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐴𝑆)
54 inelsiga 30505 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦𝑆𝐴𝑆) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
5552, 50, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 30575 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5751, 55, 56syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5843, 46, 50, 57fvmptd 6448 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
5958esumeq2dv 30407 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6059adantr 472 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6126, 42, 603eqtr4d 2802 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦))
6261ex 449 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
6362ralrimiva 3102 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
64 ismeas 30569 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6521, 64syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6611, 25, 63, 65mpbir3and 1428 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  cin 3712  wss 3713  c0 4056  𝒫 cpw 4300   cuni 4586  Disj wdisj 4770   class class class wbr 4802  cmpt 4879  ran crn 5265  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  ωcom 7228  cdom 8117  cr 10125  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  [,]cicc 12369  Σ*cesum 30396  sigAlgebracsiga 30477  measurescmeas 30565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-ac2 9475  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-disj 4771  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-ac 9127  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-ordt 16361  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-ps 17399  df-tsr 17400  df-plusf 17440  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-abv 19017  df-lmod 19065  df-scaf 19066  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-tmd 22075  df-tgp 22076  df-tsms 22129  df-trg 22162  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-nm 22586  df-ngp 22587  df-nrg 22589  df-nlm 22590  df-ii 22879  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-esum 30397  df-siga 30478  df-meas 30566
This theorem is referenced by:  measinb2  30593  totprobd  30795  probmeasb  30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator