Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measinb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem measinb 30591
 Description: Building a measure restricted to the intersection with a given set. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
measinb ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆   𝑥,𝑀

Proof of Theorem measinb
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
2 measbase 30567 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
32ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
4 simpr 479 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
5 simplr 809 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴𝑆)
6 inelsiga 30505 . . . . 5 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑥𝑆𝐴𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝐴) ∈ 𝑆)
8 measvxrge0 30575 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑥𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
91, 7, 8syl2anc 696 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
10 eqid 2758 . . 3 (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))
119, 10fmptd 6546 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞))
12 eqidd 2759 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
13 ineq1 3948 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
14 0in 4110 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝐴) = ∅
1513, 14syl6eq 2808 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴) = ∅)
1615fveq2d 6354 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
1716adantl 473 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘∅))
18 measvnul 30576 . . . . 5 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → (𝑀‘∅) = 0)
1918ad2antrr 764 . . . 4 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘∅) = 0)
2017, 19eqtrd 2792 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑥 = ∅) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = 0)
212adantr 472 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
22 0elsiga 30484 . . . 4 (𝑆 ran sigAlgebra → ∅ ∈ 𝑆)
2321, 22syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∅ ∈ 𝑆)
24 0red 10231 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → 0 ∈ ℝ)
2512, 20, 23, 24fvmptd 6448 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0)
26 measinblem 30590 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
27 eqidd 2759 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
28 ineq1 3948 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
2928adantl 473 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑥𝐴) = ( 𝑧𝐴))
3029fveq2d 6354 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) ∧ 𝑥 = 𝑧) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
31 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
3231, 2syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
33 simplr 809 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
34 simprl 811 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧 ≼ ω)
35 sigaclcu 30487 . . . . . . 7 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧 ≼ ω) → 𝑧𝑆)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝑧𝑆)
37 simpllr 817 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → 𝐴𝑆)
38 inelsiga 30505 . . . . . . . 8 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑧𝑆𝐴𝑆) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
3932, 36, 37, 38syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆)
40 measvxrge0 30575 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ ( 𝑧𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4131, 39, 40syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → (𝑀‘( 𝑧𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
4227, 30, 36, 41fvmptd 6448 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = (𝑀‘( 𝑧𝐴)))
43 eqidd 2759 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) = (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))))
44 ineq1 3948 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4544adantl 473 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑥𝐴) = (𝑦𝐴))
4645fveq2d 6354 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑀‘(𝑥𝐴)) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
47 elpwi 4310 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑆𝑧𝑆)
4847ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧𝑆)
49 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑧)
5048, 49sseldd 3743 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦𝑆)
51 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑀 ∈ (measures‘𝑆))
5251, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑆 ran sigAlgebra)
53 simpllr 817 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐴𝑆)
54 inelsiga 30505 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑦𝑆𝐴𝑆) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
5552, 50, 53, 54syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑦𝐴) ∈ 𝑆)
56 measvxrge0 30575 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑦𝐴) ∈ 𝑆) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5751, 55, 56syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑀‘(𝑦𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
5843, 46, 50, 57fvmptd 6448 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = (𝑀‘(𝑦𝐴)))
5958esumeq2dv 30407 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6059adantr 472 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦) = Σ*𝑦𝑧(𝑀‘(𝑦𝐴)))
6126, 42, 603eqtr4d 2802 . . . 4 ((((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦)) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦))
6261ex 449 . . 3 (((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
6362ralrimiva 3102 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))
64 ismeas 30569 . . 3 (𝑆 ran sigAlgebra → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6521, 64syl 17 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘∅) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑆((𝑧 ≼ ω ∧ Disj 𝑦𝑧 𝑦) → ((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘ 𝑧) = Σ*𝑦𝑧((𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴)))‘𝑦)))))
6611, 25, 63, 65mpbir3and 1428 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ 𝐴𝑆) → (𝑥𝑆 ↦ (𝑀‘(𝑥𝐴))) ∈ (measures‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  ∀wral 3048   ∩ cin 3712   ⊆ wss 3713  ∅c0 4056  𝒫 cpw 4300  ∪ cuni 4586  Disj wdisj 4770   class class class wbr 4802   ↦ cmpt 4879  ran crn 5265  ⟶wf 6043  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811  ωcom 7228   ≼ cdom 8117  ℝcr 10125  0cc0 10126  +∞cpnf 10261  [,]cicc 12369  Σ*cesum 30396  sigAlgebracsiga 30477  measurescmeas 30565 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-ac2 9475  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205  ax-mulf 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-iin 4673  df-disj 4771  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-supp 7462  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-2o 7728  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-ixp 8073  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-fsupp 8439  df-fi 8480  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-acn 8956  df-ac 9127  df-cda 9180  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-7 11274  df-8 11275  df-9 11276  df-n0 11483  df-z 11568  df-dec 11684  df-uz 11878  df-q 11980  df-rp 12024  df-xneg 12137  df-xadd 12138  df-xmul 12139  df-ioo 12370  df-ioc 12371  df-ico 12372  df-icc 12373  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-mod 12861  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-shft 14004  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-limsup 14399  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-ef 14995  df-sin 14997  df-cos 14998  df-pi 15000  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-mulr 16155  df-starv 16156  df-sca 16157  df-vsca 16158  df-ip 16159  df-tset 16160  df-ple 16161  df-ds 16164  df-unif 16165  df-hom 16166  df-cco 16167  df-rest 16283  df-topn 16284  df-0g 16302  df-gsum 16303  df-topgen 16304  df-pt 16305  df-prds 16308  df-ordt 16361  df-xrs 16362  df-qtop 16367  df-imas 16368  df-xps 16370  df-mre 16446  df-mrc 16447  df-acs 16449  df-ps 17399  df-tsr 17400  df-plusf 17440  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-mulg 17740  df-subg 17790  df-cntz 17948  df-cmn 18393  df-abl 18394  df-mgp 18688  df-ur 18700  df-ring 18747  df-cring 18748  df-subrg 18978  df-abv 19017  df-lmod 19065  df-scaf 19066  df-sra 19372  df-rgmod 19373  df-psmet 19938  df-xmet 19939  df-met 19940  df-bl 19941  df-mopn 19942  df-fbas 19943  df-fg 19944  df-cnfld 19947  df-top 20899  df-topon 20916  df-topsp 20937  df-bases 20950  df-cld 21023  df-ntr 21024  df-cls 21025  df-nei 21102  df-lp 21140  df-perf 21141  df-cn 21231  df-cnp 21232  df-haus 21319  df-tx 21565  df-hmeo 21758  df-fil 21849  df-fm 21941  df-flim 21942  df-flf 21943  df-tmd 22075  df-tgp 22076  df-tsms 22129  df-trg 22162  df-xms 22324  df-ms 22325  df-tms 22326  df-nm 22586  df-ngp 22587  df-nrg 22589  df-nlm 22590  df-ii 22879  df-cncf 22880  df-limc 23827  df-dv 23828  df-log 24500  df-esum 30397  df-siga 30478  df-meas 30566 This theorem is referenced by:  measinb2  30593  totprobd  30795  probmeasb  30799
 Copyright terms: Public domain W3C validator