Theorem mulex 12389

Description: The multiplication operation is a set. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulex	⊢ · ∈ V

Proof of Theorem mulex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 10617	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		cnex 10618	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
3	2, 2	xpex 7476	. 2 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
4		fex2 7638	. 2 ⊢ (( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → · ∈ V)
5	1, 3, 2, 4	mp3an 1457	1 ⊢ · ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   × cxp 5553  ⟶wf 6351  ℂcc 10535   · cmul 10542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359

This theorem is referenced by:  cnfldmul  20551  cnfldfun  20557  cnfldfunALT  20558  cnlmod4  23743  cnnvg  28455  cnnvs  28457  cncph  28596