MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncph 26836
Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cncph 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2 eqid 2514 . . . 4 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
32cnnv 26684 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4 mulm1 10222 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
54adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
65oveq2d 6442 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
7 negsub 10080 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
86, 7eqtrd 2548 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥𝑦))
98fveq2d 5991 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))) = (abs‘(𝑥𝑦)))
109oveq1d 6441 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2) = ((abs‘(𝑥𝑦))↑2))
1110oveq2d 6442 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)))
12 sqabsadd 13729 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
13 sqabssub 13730 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
1412, 13oveq12d 6444 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))))
15 abscl 13725 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1615recnd 9823 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
1716sqcld 12736 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
18 abscl 13725 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
1918recnd 9823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
2019sqcld 12736 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
21 addcl 9773 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
2217, 20, 21syl2an 492 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
23 2cn 10846 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 cjcl 13552 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
25 mulcl 9775 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
2624, 25sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
27 recl 13557 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℝ)
2827recnd 9823 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
30 mulcl 9775 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
3123, 29, 30sylancr 693 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
3222, 31, 22ppncand 10183 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3314, 32eqtrd 2548 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
34 2times 10900 . . . . . . . 8 ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3534eqcomd 2520 . . . . . . 7 ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3622, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3733, 36eqtrd 2548 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3811, 37eqtrd 2548 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3938rgen2a 2864 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))
40 addex 11572 . . . 4 + ∈ V
41 mulex 11573 . . . 4 · ∈ V
42 absf 13784 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
43 cnex 9772 . . . . 5 ℂ ∈ V
44 fex 6271 . . . . 5 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 703 . . . 4 abs ∈ V
46 cnaddablo 26576 . . . . . . 7 + ∈ AbelOp
47 ablogrpo 26526 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
49 ax-addf 9770 . . . . . . 7 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5049fdmi 5850 . . . . . 6 dom + = (ℂ × ℂ)
5148, 50grporn 26497 . . . . 5 ℂ = ran +
5251isphg 26834 . . . 4 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ abs ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))))
5340, 41, 45, 52mp3an 1415 . . 3 (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))))
543, 39, 53mpbir2an 956 . 2 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
551, 54eqeltri 2588 1 𝑈 ∈ CPreHilOLD
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wral 2800  Vcvv 3077  cop 4034   × cxp 4930  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689  cr 9690  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696  cmin 10017  -cneg 10018  2c2 10825  cexp 12590  ccj 13543  cre 13544  abscabs 13681  GrpOpcgr 26465  AbelOpcablo 26523  NrmCVeccnv 26579  CPreHilOLDccphlo 26829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-sup 8107  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-rp 11575  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-grpo 26469  df-gid 26470  df-ablo 26524  df-vc 26539  df-nv 26587  df-ph 26830
This theorem is referenced by:  elimphu  26838  cnchl  26944
  Copyright terms: Public domain W3C validator