Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncph 27658
 Description: The set of complex numbers is an inner product (pre-Hilbert) space. (Contributed by Steve Rodriguez, 28-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
cncph.6 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
Assertion
Ref Expression
cncph 𝑈 ∈ CPreHilOLD

Proof of Theorem cncph
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncph.6 . 2 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
2 eqid 2621 . . . 4 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩
32cnnv 27516 . . 3 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec
4 mulm1 10468 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (-1 · 𝑦) = -𝑦)
65oveq2d 6663 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥 + -𝑦))
7 negsub 10326 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑦) = (𝑥𝑦))
86, 7eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + (-1 · 𝑦)) = (𝑥𝑦))
98fveq2d 6193 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦))) = (abs‘(𝑥𝑦)))
109oveq1d 6662 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2) = ((abs‘(𝑥𝑦))↑2))
1110oveq2d 6663 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)))
12 sqabsadd 14016 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
13 sqabssub 14017 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑥𝑦))↑2) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))))
1412, 13oveq12d 6665 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))))
15 abscl 14012 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
1615recnd 10065 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
1716sqcld 13001 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → ((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
18 abscl 14012 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℝ)
1918recnd 10065 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (abs‘𝑦) ∈ ℂ)
2019sqcld 13001 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℂ → ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ)
21 addcl 10015 . . . . . . . . 9 ((((abs‘𝑥)↑2) ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝑦)↑2) ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
2217, 20, 21syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ)
23 2cn 11088 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 cjcl 13839 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → (∗‘𝑦) ∈ ℂ)
25 mulcl 10017 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
2624, 25sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ)
27 recl 13844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℝ)
2827recnd 10065 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · (∗‘𝑦)) ∈ ℂ → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ)
30 mulcl 10017 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))) ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
3123, 29, 30sylancr 695 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))) ∈ ℂ)
3222, 31, 22ppncand 10429 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦))))) + ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑥 · (∗‘𝑦)))))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3314, 32eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
34 2times 11142 . . . . . . . 8 ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3534eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) ∈ ℂ → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3622, 35syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)) + (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3733, 36eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥𝑦))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3811, 37eqtrd 2655 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))
3938rgen2a 2976 . . 3 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))
40 addex 11827 . . . 4 + ∈ V
41 mulex 11828 . . . 4 · ∈ V
42 absf 14071 . . . . 5 abs:ℂ⟶ℝ
43 cnex 10014 . . . . 5 ℂ ∈ V
44 fex 6487 . . . . 5 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
4542, 43, 44mp2an 708 . . . 4 abs ∈ V
46 cnaddabloOLD 27420 . . . . . . 7 + ∈ AbelOp
47 ablogrpo 27385 . . . . . . 7 ( + ∈ AbelOp → + ∈ GrpOp)
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 + ∈ GrpOp
49 ax-addf 10012 . . . . . . 7 + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
5049fdmi 6050 . . . . . 6 dom + = (ℂ × ℂ)
5148, 50grporn 27359 . . . . 5 ℂ = ran +
5251isphg 27656 . . . 4 (( + ∈ V ∧ · ∈ V ∧ abs ∈ V) → (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2))))))
5340, 41, 45, 52mp3an 1423 . . 3 (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD ↔ (⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ NrmCVec ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((abs‘(𝑥 + 𝑦))↑2) + ((abs‘(𝑥 + (-1 · 𝑦)))↑2)) = (2 · (((abs‘𝑥)↑2) + ((abs‘𝑦)↑2)))))
543, 39, 53mpbir2an 955 . 2 ⟨⟨ + , · ⟩, abs⟩ ∈ CPreHilOLD
551, 54eqeltri 2696 1 𝑈 ∈ CPreHilOLD
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  Vcvv 3198  ⟨cop 4181   × cxp 5110  ⟶wf 5882  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℂcc 9931  ℝcr 9932  1c1 9934   + caddc 9936   · cmul 9938   − cmin 10263  -cneg 10264  2c2 11067  ↑cexp 12855  ∗ccj 13830  ℜcre 13831  abscabs 13968  GrpOpcgr 27327  AbelOpcablo 27382  NrmCVeccnv 27423  CPreHilOLDccphlo 27651 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011  ax-addf 10012  ax-mulf 10013 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-grpo 27331  df-gid 27332  df-ablo 27383  df-vc 27398  df-nv 27431  df-ph 27652 This theorem is referenced by:  elimphu  27660  cnchl  27756
 Copyright terms: Public domain W3C validator