Theorem nomaxmo 33201

Description: A class of surreals has at most one maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nomaxmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nomaxmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 33181	. . . . 5 ⊢ <s Or No
2		soss 5493	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		cnvso 6139	. . . 4 ⊢ ( <s Or 𝑆 ↔ ◡ <s Or 𝑆)
5	3, 4	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ◡ <s Or 𝑆)
6		somo 5510	. . 3 ⊢ (◡ <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥)
8		vex 3497	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
9		vex 3497	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	8, 9	brcnv 5753	. . . . 5 ⊢ (𝑦◡ <s 𝑥 ↔ 𝑥 <s 𝑦)
11	10	notbii 322	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 <s 𝑦)
12	11	ralbii 3165	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
13	12	rmobii 3396	. 2 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦◡ <s 𝑥 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
14	7, 13	sylib 220	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑥 <s 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3138  ∃*wrmo 3141   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5066   Or wor 5473  ^◡ccnv 5554   No csur 33147   <s cslt 33148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-1o 8102  df-2o 8103  df-no 33150  df-slt 33151

This theorem is referenced by:  nosupno  33203  nosupbday  33205  nosupbnd1  33214  nosupbnd2  33216