Theorem ocvss 20814

Description: The orthocomplement of a subset is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ocvss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ocvss	⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Proof of Theorem ocvss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ocvss.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
5		ocvss.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	elocv 20812	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7	6	simp2bi 1142	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ( ⊥ ‘𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑉)
8	7	ssriv 3971	1 ⊢ ( ⊥ ‘𝑆) ⊆ 𝑉

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  ·_𝑖cip 16570  0_gc0g 16713  ocvcocv 20804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-ocv 20807

This theorem is referenced by:  ocvocv  20815  ocvlss  20816  ocvlsp  20820  ocv1  20823  cssval  20826  cssss  20829  ocvcss  20831  cssincl  20832  csslss  20835  lsmcss  20836  mrccss  20838  pjcss  20860  csscld  23852  clsocv  23853