MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglem 17552
Description: Lemma for oppgbas 17553. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppglem.2 𝐸 = Slot 𝑁
oppglem.3 𝑁 ∈ ℕ
oppglem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
oppglem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem oppglem
StepHypRef Expression
1 oppglem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 oppglem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 15665 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 oppglem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 15664 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 15752 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 2847 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 219 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 15692 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
10 eqid 2609 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
1210, 11oppgval 17549 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩)
1312fveq2i 6091 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2634 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cop 4130  cfv 5790  (class class class)co 6527  tpos ctpos 7216  cn 10870  2c2 10920  ndxcnx 15641   sSet csts 15642  Slot cslot 15643  +gcplusg 15717  oppgcoppg 17547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-tpos 7217  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-nn 10871  df-2 10929  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-oppg 17548
This theorem is referenced by:  oppgbas  17553  oppgtset  17554  oppgle  28818
  Copyright terms: Public domain W3C validator