Theorem peano5 3149

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
peano5	⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem peano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 2160	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → ¬ y ∈ A)
2	1	adantl 388	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ y ∈ A)
3		nnsuc 3144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ y ≠ ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
4		eldifi 2159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → y ∈ ω)
5	4	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → y ∈ ω)
6		eleq1 1532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = ∅ → (y ∈ (ω ∖ A) ↔ ∅ ∈ (ω ∖ A)))
7	6	biimpcd 155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (y = ∅ → ∅ ∈ (ω ∖ A)))
8	7	necon3bd 1601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (¬ ∅ ∈ (ω ∖ A) → y ≠ ∅))
9		elndif 2161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ A → ¬ ∅ ∈ (ω ∖ A))
10	8, 9	syl5com 52	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ A → (y ∈ (ω ∖ A) → y ≠ ∅))
11	10	imp 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → y ≠ ∅)
12	3, 5, 11	sylanc 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
13	12	adantlr 393	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
14	13	adantr 389	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
15		hbra1 1685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → ∀x∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A))
16		ax-17 970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∀x(y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅))
17	15, 16	hban 1008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → ∀x(∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)))
18		ax-17 970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
19		ra4 1692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (x ∈ ω → (x ∈ A → suc x ∈ A)))
20		visset 1810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ x ∈ V
21	20	sucid 3047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ x ∈ suc x
22		eleq2 1533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (x ∈ y ↔ x ∈ suc x))
23	21, 22	mpbiri 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → x ∈ y)
24		eleq1 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ suc x ∈ ω))
25		peano2b 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ ω ↔ suc x ∈ ω)
26	24, 25	syl6bbr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ x ∈ ω))
27		neldif 2162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ ω ⋀ ¬ x ∈ (ω ∖ A)) → x ∈ A)
28		minel 2321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ¬ x ∈ (ω ∖ A))
29	27, 28	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ω ⋀ (x ∈ y ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → x ∈ A)
30	29	exp32 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
31	26, 30	syl6bi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A))))
32	23, 31	mpid 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
33	32, 4	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = suc x → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
34	33	imp3a 361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → x ∈ A))
35		eleq1a 1541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc x ∈ A → (y = suc x → y ∈ A))
36	35	com12 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → (suc x ∈ A → y ∈ A))
37	34, 36	imim12d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = suc x → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)))
38	37	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → (y = suc x → y ∈ A)))
39	19, 38	sylan9 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (x ∈ ω → (y = suc x → y ∈ A)))
40	17, 18, 39	r19.23ad 1743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
41	40	exp32 377	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))))
42	41	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ A → (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A)))))
43	42	imp41 368	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
44	14, 43	mpd 26	. . . . . 6 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)
45	44	ex 373	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → y ∈ A))
46	2, 45	mtod 108	. . . 4 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
47	46	nrexdv 1728	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ¬ ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
48		ordom 3137	. . . . 5 ⊢ Ord ω
49		difss 2164	. . . . 5 ⊢ (ω ∖ A) ⊆ ω
50		tz7.5 2965	. . . . 5 ⊢ ((Ord ω ⋀ (ω ∖ A) ⊆ ω ⋀ (ω ∖ A) ≠ ∅) → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
51	48, 49, 50	mp3an12 905	. . . 4 ⊢ ((ω ∖ A) ≠ ∅ → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
52	51	necon1bi 1607	. . 3 ⊢ (¬ ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (ω ∖ A) = ∅)
53	47, 52	syl 10	. 2 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → (ω ∖ A) = ∅)
54		ssdif0 2324	. 2 ⊢ (ω ⊆ A ↔ (ω ∖ A) = ∅)
55	53, 54	sylibr 200	1 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 955   ∈ wcel 957   ≠ wne 1583  ∀wral 1643  ∃wrex 1644   ∖ cdif 2041   ∩ cin 2043   ⊆ wss 2044  ∅c0 2277  Ord word 2943  suc csuc 2946  ωcom 3127

This theorem is referenced by:  find 3151  finds 3152  finds2 3154  omex 4610  dfom3 4613

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128

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