Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2N 34534
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N
StepHypRef Expression
1 hlop 34126 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
3 eqid 2621 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
42, 3glb0N 33957 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
54fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
83, 6, 7pmap1N 34530 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2655 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11 fveq2 6148 . . . . . 6 (𝑆 = ∅ → (𝐺𝑆) = (𝐺‘∅))
1211fveq2d 6152 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
13 riin0 4560 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝐴)
1412, 13eqeq12d 2636 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
1510, 14syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
1615adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
17 pmapglb2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 2, 7pmapglb 34533 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
20 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
21 ssel2 3578 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝐵𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2221adantll 749 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2317, 6, 7pmapssat 34522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2420, 22, 23syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2519, 24jca 554 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2625ex 450 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
2726eximdv 1843 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
28 n0 3907 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
29 df-rex 2913 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
31303impia 1258 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
32 iinss 4537 . . . . . 6 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
34 sseqin2 3795 . . . . 5 ( 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3533, 34sylib 208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3618, 35eqtr4d 2658 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
37363expia 1264 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
3816, 37pm2.61dne 2876 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  cin 3554  wss 3555  c0 3891   ciin 4486  cfv 5847  Basecbs 15781  glbcglb 16864  1.cp1 16959  OPcops 33936  Atomscatm 34027  HLchlt 34114  pmapcpmap 34260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p1 16961  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-ats 34031  df-hlat 34115  df-pmap 34267
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator